В древнеиндийской математике спрямление также рассматривалось для вычисления длины окружности. Ариабхата в главе II своей книги «Ариабхатия» (ок. 500 г.) приводит приближенное значение π = 3,1416. Он вычислил периметр правильного 384-угольника, вписанного в окружность, применив метод исчерпывания, аналогичный приведенному в китайском трактате «Математика в девяти книгах», но выполнил еще два шага: он также начал с шестиугольника и последовательно удваивал число его сторон (6, 12, 24, 48, 96, 192, 384), пока не получил 384-угольник.
* * *
КРОЛИК ПЕРЕСЕКАЕТ МЕРИДИАН
Приведем любопытную задачу об окружности и ее радиусе, которая отличается необычной формулировкой и, кроме того, послужит продолжением нашей истории о дуге меридиана. Напомним, что длина земного меридиана равна примерно 40000 км. Если представить, что Земля имеет форму идеальной сферы, то длина веревки, полностью опоясывающей Землю вдоль меридиана, составит эти же 40000 км. Если мы удлиним эту веревку на 1 метр, сможет ли кролик проползти под ней? Хотя 1 метр по сравнению с 40000 км может показаться ничтожной величиной, ответ на этот вопрос будет положительным. Удивительнее всего, что если мы увеличим длину окружности на 1 метр, ее радиус всегда будет увеличиваться на одну и ту же величину вне зависимости от радиуса исходной окружности. Подтвердить это помогут несложные расчеты.
Пусть r1 — радиус исходной окружности. Длина окружности будет равна L1 = 2πr1. Если мы увеличим длину окружности на 1 метр, она будет равна L2 = 2πr1 + 1. Радиус полученной окружности будет равен r2 = (2πr1 + 1)/2π, то есть r2 = r1 + 1/2π
Нетрудно видеть, что при увеличении длины исходной окружности на 1 м ее радиус всегда будет возрастать на 1/2π м вне зависимости от размеров исходной окружности. Вернемся к на шей задаче и выразим эту величину в сантиметрах. Получим 100/2π см = 15,91549431 см. Этого расстояния будет достаточно, чтобы кролик смог проползти под веревкой.
* * *
С древних времен в самых разных культурах предпринимались попытки выполнить приближение кривых прямолинейными отрезками равной длины при помощи различных методов. Даже в XVII веке еще проводились конкурсы по определению длин дуг некоторых кривых, в частности спирали Архимеда, цепной линии или циклоиды. Расчеты проводились геометрическими методами. Последний шаг к решению задач такого типа был сделан в конце XVII века с появлением дифференциального исчисления. В дифференциальном исчислении длина дуги рассчитывается по формуле
где f(x) — функция, длину графика которой требуется найти, f'(x) — ее производная, причем обе этих функции непрерывны на отрезке [а, Ь]. S будет длиной дуги, ограниченной а и Ь.
При доказательстве этой формулы используется прежняя идея: кривая представляется в виде последовательности прямолинейных отрезков, после чего для каждого из них применяется теорема Пифагора. Длина каждого отрезка будет равна
Δs = √(Δх2 + Δу2)
Дуга кривой и отрезок Δs — гипотенуза треугольника с катетами Δх и Δу.
Приближенное значение S рассчитывается как сумма гипотенуз:
Чем меньше будет длина этих n отрезков, тем точнее будет полученный результат. В пределе все Δхi будут стремиться с нулю, и, согласно определению определенного интеграла, на отрезке между а и Ь мы получим приведенную выше формулу:
Квадратура
Квадратура — построение квадрата, по площади равного данной фигуре. Исторически сложилось, что квадратом называется вторая степень числа, то есть число, умноженное на само себя. Схожесть этих терминов неслучайна — если возвести число во вторую степень, то есть умножить его на само себя, то мы найдем площадь квадрата, сторона которого выражается этим числом.
На следующем рисунке показано, как при возведении во вторую степень выражения (а + Ь) получается площадь квадрата со стороной а + Ь:
Здесь следует провести различие между площадью и поверхностью, так как эти понятия иногда путают. Поверхность — геометрический термин, площадь — величина, соответствующая этому геометрическому термину, то есть мера протяженности поверхности, выраженная в соответствующих единицах.
Кроме того, некоторые порой путают периметр и площадь. Их следует различать подобно тому, как различают окружность и круг. Периметр (от латинского perimetros, произошедшего от греческого это граница поверхности или фигуры, а также длина этой границы, а площадь — это мера, или численная характеристика, поверхности или фигуры, ограниченной периметром. Возникает вопрос: если задан определенный периметр, например дана веревка заданной длины, то каким будет прямоугольник наибольшей площади, который можно ограничить этой веревкой? Этот вопрос можно сформулировать и в более общем виде: как будет выглядеть фигура наибольшей площади, которую можно ограничить этой веревкой?
Ответом на первый вопрос будет квадрат, на второй вопрос — круг. Ответы на эти вопросы известны с глубокой древности и применяются в повседневной жизни множеством способов. В главе 1 мы упомянули, что традиционные жилища в самых разных культурах (у инуитов, североамериканских индейцев и аборигенов Кении) имели круглую форму — так обеспечивалась наибольшая площадь при минимальном расходе материала.
Парадоксально, но определенные фигуры имеют конечную площадь, но бесконечный периметр. К примеру, это справедливо для фрактала под названием снежинка Коха, который представляет собой непрерывную кривую, но задается функцией, не дифференцируемой ни в одной точке. Эту кривую описал шведский математик Хельге фон Кох (1870–1924) в 1904 году. Из четырех отрезков равной длины (например, 1), соединенных так, как показано на первом рисунке внизу (KQ), строится кривая Коха, на основе которой определяется снежинка Коха.
Четыре первых этапа построения кривой Коха. Сверху вниз: К0, K1, К2 и К3.
На первом этапе все 4 отрезка К0 заменяются копией К0 уменьшенной в 3 раза. Полученная кривая (обозначим ее K1) будет состоять из 16 = 42 отрезков. Далее заменим каждый из этих 16 отрезков копией K1, уменьшенной в З2 = 9 раз. Полученная кривая (обозначим ее К2) будет состоять из 64 = 43 отрезков, и так далее. Кривая Коха определяется как предел последовательности Кi при i, стремящемся к бесконечности.
Для построения снежинки Коха возьмем 3 копии K0, расположим их в форме равностороннего треугольника и заменим его стороны описанными выше кривыми.
Снежинка Коха.
Снежинка Коха имеет конечную площадь, но бесконечный периметр. Ее площадь конечна потому, что фигура умещается внутри круга конечного радиуса. В нашем примере длина исходных отрезков кривой K0 равна 1, и можно доказать, что снежинка умещается внутри круга радиуса 3. Чтобы доказать, что снежинка Коха имеет бесконечный периметр, достаточно показать, что кривая Коха имеет бесконечную длину. Для этого вычислим длину l(Кi) на каждом шаге построения. Длина K0 равна 4 (4 стороны длиной 1). Так как К1 состоит из 16 = 42 отрезков длиной 1/3, длина этой кривой будет равна:
Обобщив рассуждения, получим:
* * *
УЧАСТОК НАИБОЛЬШЕЙ ПЛОЩАДИ, ПОКРЫТЫЙ БЫЧЬЕЙ ШКУРОЙ
У Маттона, царя Тира, было двое детей — Пигмалион и Элисса (таким было тирское имя царицы Дидоны). После смерти Мапона трон занял его сын Пигмалион, еще ребенок. Элисса, подстрекаемая Пигмалионом, вышла замуж за его дядю Сикарба, жреца храма Геракла и второго человека в государстве после самого царя, так как Пигмалион хотел заполучить сокровища, спрятанные Сикарбом. Спустя некоторое время Пигмалион попросил Элиссу разузнать, где муж прячет сокровища. Она подчинилась, но не сказала брату, где находится тайник. Пигмалион повелел убить Сикарба, чтобы завладеть его богатством, а Элисса успела скрыться на корабле вместе со знатными тирийцами, захватив сокровища с собой. Беглецы высадились на севере Африки, где их тепло приняли местные жители, заключившие с прибывшими договор: тирийцам разрешалось занять столько земли, сколько можно было покрыть бычьей шкурой. Те разрезали шкуру на очень тонкие ремни, связали их вместе и опоясали ими достаточно большой участок. Местные жители в соответствии с договором передали им землю, где был основан город. Новый город получил название Бирса, что по-финикийски означает «бычьи шкуры». Спустя некоторое время царь соседнего племени Иарбант захотел жениться на Дидоне и угрожал объявить войну в случае отказа. Дидона отказалась и покончила с собой. На основе этой легенды Вергилий создал «Энеиду» — поэму о похождениях троянского героя Энея. Корабль Энея прибивает бурей к побережью Африки, и его подбирают жители Карфагена — города, основанного Дидоной. Дидона влюбляется в Энея и умоляет его остаться. Тот отказывается, и Дидона кончает жизнь самоубийством.
