Еврипид в одном из своих произведений так описал задачу об удвоении куба. Царь Минос при постройке гробницы своего сына Главка объявил, что мавзолей кубической формы с длиной стороны в сто шагов слишком мал для царского сына, и повелел удвоить его объем, сохранив прежнюю форму, для чего потребовал увеличить сторону мавзолея вдвое. Минос допустил грубую ошибку: если удвоить сторону куба, то объем полученного куба будет не в два, а в восемь раз больше исходного.
Древнегреческие математики не располагали современной алгебраической нотацией и должны были решить задачу об удвоении куба исключительно при помощи циркуля и линейки. Чтобы найти сторону х квадрата, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной а, они вычисляли среднее пропорциональное а и 2а:
a/x = x/2a, следовательно, x√2 = a
Эта же идея была применена и для решения задачи об удвоении куба. Было показано, что решение задачи сводилось к вычислению двух средних пропорциональных а и 2а. Чтобы удвоить куб со стороной а, нужно найти сторону х куба, объем которого будет равен
Если удастся найти значения х и у, которые будут средними пропорциональными а и 2а согласно следующему равенству:
a/x = x/y = y/2a
то задача будет решена. Этот метод решения, при котором исходная задача сводится к другой, более простой, весьма характерен для математики. Новая задача заключается в том, чтобы найти эти два средних пропорциональных.
Помимо задачи об удвоении куба, древнегреческих математиков интересовали и другие задачи, связанные с объемом тел. Согласно Архимеду, Евдокс доказал, что объем конуса равен трети объема цилиндра того же основания и высоты. Архимед доказал, что площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, один катет которого равен радиусу круга, а длина другого равна длине окружности. Он также выразил объем шара через объем цилиндра и конуса.
Для этого Архимед рассмотрел полушар радиуса R и поместил рядом с ним прямой конус и прямой круговой цилиндр. Радиусы оснований конуса и цилиндра также равнялись R.
Сечения полушара, конуса и цилиндра.
Затем он рассек все три фигуры плоскостью, параллельной основанию цилиндра и расположенной на одинаковом расстоянии d от верха всех трех фигур, и рассмотрел полученные сечения. Сечением цилиндра была окружность радиуса R. Сечением полушара также была окружность, но другого радиуса (обозначим его через r).
Соотношение между r, d и R для полушара.
По теореме Пифагора выполняется соотношение r2 + d2 = R2.
Сечением конуса также была окружность, но другого радиуса, d, так как угол раствора конуса составлял 45°.
Соотношение между R и d для конуса.
Площади сечений таковы:
Так как r2 + d2 = R2, имеем:
Площадь сечения цилиндра = Площадь сечения полушара + Площадь сечения конуса.
Сечения фигуры подобны ломтям хлеба: если для каждого сечения выполняется приведенное выше соотношение, то кажется вполне очевидным, что это же отношение будет выполняться и для объемов фигур. Иными словами,
Объем цилиндра = Объем полушара + Объем конуса.
Архимед знал, как вычисляется объем цилиндра и объем конуса:
V(цилиндра) = πR3; V(конуса) = 1/πR3.
Он получил равенство
V(полушара) = V(цилиндра) — V(конуса) = πR3 — (1/3)πR3 = 2πR3/3
Таким образом,
V(сфера) = 4πR3/3.
И вновь задачи о вычислении объемов были окончательно решены с появлением дифференциального исчисления. Рассмотрим в качестве примера, как с его помощью вычисляется объем шара радиуса г. Начнем с того, что приведем уравнение окружности
х2 + у2 = r2.
Вращая полукруг вокруг оси абсцисс, получим шар.
Шар, полученный вращением полукруга.
Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной линиями у = f(x), у = 0, х = а и х = Ь, вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле:
Эта формула в некотором роде отражает метод Архимеда, если интерпретировать πf(x)2 как площадь круга и представить, что тело вращения, как в примере Архимеда, состоит из «ломтей»-сечений. Напомним, что обозначает интеграл — сумму объемов бесконечного числа сечений бесконечно малой толщины (dx), которые составляют объем тела вращения. В нашем примере
Понятие меры появилось свыше 5 тысяч лет назад, когда возникла необходимость в измерении предметов, окружавших человека. Посмотрим, какими были основные задачи, стоявшие перед математиками конца XIX века и приведшие к созданию теории меры. Древние египтяне занимались вычислением площадей и объемов (см. папирус Ахмеса и Московский математический папирус) и использовали приближенное значение π 4(1 – 1/9)2 = 3,160…, однако строгие доказательства формул для вычисления площадей и объемов привели не они, а уже древнегреческие математики.
Эти доказательства даны в «Началах» Евклида (ок. 300 г. до н. э.), где, однако, нет определений длины, площади и объема — эти понятия определяются неявно при описании фигур. Так, определяется линия, поверхность и тело: линия есть длина без ширины, поверхность — то, что имеет лишь длину и ширину, а тело — то, что имеет длину, ширину и глубину. Евклид также не определил, что означает «измерить» — это слово он использует не только в связи с тремя вышеупомянутыми «величинами», но и по отношению к числам. К примеру, он определяет «часть» и «части» аналогично современным понятиям «делитель» и «не делитель», но использует при этом слово «измерить: «Часть есть число в числе, меньшее в большем, если оно измеряет большее. Части же — если оно его не измеряет». Так, к примеру, 3 — «часть» 13, а 6 — «части» 13.
Не встретим мы определения меры и у других древнегреческих авторов, в частности у Архимеда, который сравнивает известные площади и объемы для вычисления новых. Так, мы показали, как он вычислил объем шара. Подобных понятий меры было достаточно для развития математики на протяжении многих веков.
Главным героем следующего этапа стал Георг Кантор (1845–1918), который в 1883 году дал первое определение меры m(А) произвольного (ограниченного) множества . Кроме того, Кантор обнаружил, что не все бесконечные множества имеют одинаковые размеры, то есть одинаковую мощность: к примеру, множество рациональных чисел является счетным, то есть имеет тот же размер, что и множество натуральных чисел, а множество вещественных чисел — нет. В этом смысле измерить означает установить взаимно-однозначное соответствие (на языке математики — биекцию) между двумя множествами, одним из которых будет (множество натуральных чисел) или одна из его степеней (x,xx и так далее). К примеру, для множества рациональных чисел можно установить следующее соотношение:
—> x
p/q —> (p,q)
где p/q — несократимая дробь, которая определяется для любого рационального числа единственным образом. Установить похожее соотношение между и или его степенью нельзя, поэтому не является счетным. Следовательно, существуют бесконечные множества, которые по размерам превышают другие бесконечные множества. Некоторые из этих множеств настолько велики, что для них нельзя определить взаимно-однозначное соответствие в вещественном пространстве, имеющем три измерения (длину, ширину и высоту), которое порой отождествляют с векторным пространством 3.
