Другие авторы, в частности Отто Штольц (1842–1905) в 1884 году и Адольф фон Гарнак (1851–1930) в 1885 году, приводили эквивалентные определения на множестве . Так, согласно этим определениям, мера рациональных чисел на отрезке [0,1], как и мера всех вещественных чисел этого же отрезка, равнялась 1.
Нетрудно предположить, что это сравнение между элементами и будет некорректным, если — счетное, a — нет.
Таким образом, суть проблемы заключалась в том, чтобы определить разницу между счетными и измеримыми множествами. Счетное множество — это множество, для которого можно определить взаимно-однозначное соответствие со множеством натуральных чисел, а измеримое множество — это множество, для которого можно определить взаимно-однозначное соответствие со множеством неотрицательных вещественных чисел. Это различие является формальным выражением разницы между счетом и измерением, между дискретным и непрерывным, о которой мы рассказали в главе 1. В английском языке разница между счетными и несчетными предметами отражена конструкциями how many и how much.
Джузеппе Пеано (1858–1932) указал, какие множества называются измеримыми, и привел собственное определение меры в 1887 году. Он определил внутреннюю и внешнюю меру области R как наименьшую внешнюю границу всех многоугольных областей, заключенных внутри R, и как наибольшую внутреннюю границу всех многоугольных областей, содержащих в себе R, соответственно. Пеано назвал измеримым множество, внешняя и внутренняя мера которого совпадают, и доказал, что мера обладает аддитивностью. Кроме того, он объяснил связь между мерой и интегрированием. В 1892 году Камиль Жордан (1838–1922) дал более простое определение меры, применив вместо многоугольников квадратную сетку. Эти определения в некотором роде схожи с методами вычисления приближенных значений числа π путем последовательных приближений периметра или площади круга вписанными и описанными многоугольниками, которые использовали математики древности (египтяне, китайцы, индийцы и греки).
Но новых определений по-прежнему было недостаточно: к примеру, в соответствии с ними множество рациональных чисел не было измеримым. Два года спустя Эмиль Борель (1871–1956) продолжил работу над этой темой и в своей докторской диссертации (1894) определил для описанной им меры счетную аддитивность — более широкое понятие по сравнению с конечной аддитивностью, с которой работал Пеано. Помимо этого, Борель привел определение множеств нулевой меры. Согласно новому определению, множество рациональных чисел на отрезке [0,1], мерой которого, по мнению других авторов, было число 1, было множеством нулевой меры.
Взяв за основу определение меры, введенное Борелем, Анри Лебег (1875–1941) в 1902 году в своей докторской диссертации описал фундаментальные понятия абстрактной теории интегрирования. Он расширил понятие интеграла Римана, введенное Бернхардом Риманом (1826–1866), который определил интеграл как площадь, ограниченную непрерывной кривой, и представил понятие интеграла Лебега, применимое не только для непрерывных функций.
На страницах этой книги мы рассказали, что измерением небес занимается астрономия, а измерением Земли — геодезия; вы узнали, как измерение времени привело к созданию календаря, а необходимость в универсальной мере длины — к определению метра. Самые разные действия в мире физики, астрономии, геодезии и метрологии, а также работа с календарями были бы невозможны без математики. В самой математике понятие меры было определено в теории меры в рамках математической модели, однако для ее подробного рассмотрения потребуется отдельная книга.
ALDER, К., La medida de todas las cosas, Madrid, Taurus, 2004.
BISHOP, A.J., Enculturación matemática. La educatión matemática desde una perspectiva cultural, Barcelona, Paidós, 1999.
BOURGOING, J., The Calendar. Measuring Time, London, Thames & Hudson, 2001.
BOYER, C.B., Historia de la matemática, Barcelona, Destino, 2009.
GUEDJ, D., La medida del mundo, Barcelona, Diagonal, Ediciones de Bolsillo, 2001.
IFRAH, G., Historia universal de las cifras, Madrid, Espasa Calpe, 1997.
KATZ, V., MlCHALOWICZ, K. (eds.), Historical Modules for the Teaching and Learning of Mathematics, Washington, The Mathematical Association of America, 2004.
KUHN, T.S., La Revolution copernicana, Barcelona, Folio, 2000.
LAFUENTE, A; MAZUERCOS, A., Los Caballeros del punto fijo, Barcelona, Serbal, 1987.
LlNDBERG, D.C., Los initios de la ciencia occidental, Barcelona, Paidós, 2002.
LORENZO, J.A., La Revolutión del metro, Madrid, Celeste Ediciones, 1998.
PALAU, M., La pintoresca historia del calendari, Barcelona, Milla, 1973.
PLA, J., Liu Hui. Nueve capitulos de la matemática china, Madrid, Nivola, 2009.
SOBEL, D., Longitud: la verdadera historia de un genio solitario que resolvió el mayor problema cíentifico de su tiempo, Barcelona, Anagrama, 2006.
* * *
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 38
Иоланда Гевара, Карлес Пюиг
Измерение мира. Календари, меры длины и математика
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066, г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не принимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Полина Быстрова
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в России:
8-800-200-02-01
Телефон горячей линии для читателей Москвы:
8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей: Россия, 600001, г. Владимир, а/я 30, «Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои контактные данные для обратной связи (телефон или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина, г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной горячей линии в Украине:
0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини», «Мир математики»
Украïна, 01033, м. Кiев, а/с «Де Агостiнi»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск, ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
+ 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00–21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини», «Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую розничную цену книг. Издатель оставляет за собой право изменять последовательность заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 20.08.2014
Дата поступления в продажу на территории России: 07.10.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 28 900 экз.
© Iolanda Guevara Casanova, Carles Puig-Pla, 2011 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0733-5 (т. 38)
Перевод А. Н. Егунова.
Здесь и далее тексты Овидия цитируются по переводу С. А. Петровского.
