«Эней рассказывает Дидоне о несчастьях Трои». Картина французского художника Пьер-Нарцисса Герена.
* * *
При спрямлении мы измеряли длину морского побережья при помощи смоченной нити, наложенной на карту. Аналогичным образом можно вычислять и площади поверхностей. Для этого нам потребуется прозрачный лист бумаги, разделенный на квадраты. Подсчитав число квадратов, покрывающих поверхность, и зная масштаб изображения, можно с хорошей точностью определить искомую площадь.
С древних времен одной из самых знаменитых задач о квадратуре была задача о квадратуре круга. Она заключается в том, чтобы с помощью циркуля и линейки построить квадрат, по площади равный данному кругу.
Площадь круга должна быть равна площади построенного квадрата.
Папирус Ахмеса (также известный как папирус Ринда по имени его владельца Генри Ринда, который приобрел его в 1858 году), обнаруженный при строительстве здания в Луксоре, был написан писцом по имени Ахмес примерно в 1650 году до н. э. и содержит информацию из периода 2000 год до н. э. — 1800 год до н. э. В задаче 48 площадь круга диаметром в 9 единиц принимается равной площади восьмиугольника, вписанного в квадрат с длиной стороны в 9 единиц, как показано на рисунке.
Фрагмент папируса Ахмеса и рассматриваемый восьмиугольник.
Площадь круга равна:
Приближенное значение площади многоугольника принимается равным 64. В действительности оно составляет 63, так как площадь каждого квадрата равна 3 х 3 = 9, а многоугольник состоит из 5 целых квадратов и 4 половин — всего 7 квадратов площадью в 9 единиц каждый. В расчетах мы будем использовать значение площади в 64 единицы, так как 64 — квадрат (82). Кроме того, так мы сможем использовать только дроби с числителем, равным 1, подобно древним египтянам.
Так, ~= 64. Проведя необходимые расчеты и упростив выражение, получим:
Задача о квадратуре круга наряду с задачами об удвоении куба и трисекции угла принадлежала к числу трех классических задач древнегреческой математики. Задача о вычислении квадратуры плоских поверхностей, ограниченных кривыми, вызвала бы у греков довольно много трудностей, если бы Гиппократ Хиосский (ок. 470 г. до н. э. — ок. 410 г. до н. э.) не доказал, что возможно вычисление квадратуры определенных криволинейных фигур — двуугольников, построенных особым образом.
Площадь фигуры, выделенной серым цветом, равна площади треугольника АВС.
Для простоты примем АС = СВ = 1. Если мы покажем, что площадь двуугольника АВ, который дополняет треугольник AВС до сектора, составляющего четверть круга, равна сумме площадей двух двуугольников, которые дополняют треугольник до полукруга диаметром АВ, то мы докажем исходное утверждение. Достаточно заметить, что в малом круге сумма площади треугольника и площадей двух двуугольников равна площади полукруга, равно как и сумма площади двуугольника АВ и площади фигуры, выделенной серым цветом.
Радиус большого круга равен 1, следовательно, его площадь равна π. Площадь сектора в четверть круга равна π/4. Диаметр меньшего круга равен √2, радиус — √2/2, площадь — 1/2π. Половина малого круга вновь будет иметь площадь π/4.
Иными словами, половина малого круга и четверть большого круга имеют равную площадь. Таким образом, можно утверждать, что сумма площадей двух двуугольников равна площади большого двуугольника. Отсюда следует, что площадь треугольника равна площади фигуры, выделенной серым цветом.
В 1882 году немецкий математик Фердинанд Линдеман (1852–1939) доказал, что число π является трансцендентным, поэтому решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки невозможно. Возможно, именно после многовековых попыток решить эту задачу и возникло выражение «квадратура круга», которое в обычном языке употребляется в переносном смысле и означает нечто очень сложное.
Задачами о квадратуре занимался Евдокс Книдский. Он применил геометрический метод, в котором по мере выполнения вычислений точность результата постепенно повышалась. Метод Евдокса был схож с теми, что использовали индийцы и китайцы для вычисления длины окружности и площади круга путем последовательного построения многоугольников. Позднее подобный метод применил Архимед для вычисления площади фигуры, ограниченной дугой параболы, и объема шара. Евклид привел все эти результаты в книге XII своих «Начал» (ок. 300 г. до н. э.). В XVII веке Грегуар де Сен-Венсан (1584–1667) назвал этот метод методом исчерпывания.
Задачи о квадратуре поверхностей, ограниченных кривыми, были окончательно решены с появлением дифференциального исчисления. Интегрирование — математическая операция, позволяющая вычислять площади плоских фигур, ограниченных кривыми, если известны уравнения этих кривых. Рассмотрим пример. Пусть дана кривая — график функции f(x) = √x. Чему будет равна площадь фигуры, ограниченной этой кривой и горизонтальной осью координат на интервале от 0 до 1?
На языке математики ответ записывается так:
Следующий рисунок иллюстрирует геометрический метод вычисления искомой площади, который завершается переходом к пределу. Суть этого метода заключается в построении последовательности прямоугольников, как в ранее приведенном примере с картой и листом бумаги, разделенном на квадраты. Вычислив сумму площадей построенных прямоугольников, можно найти приближенное значение площади фигуры. Площадь этой фигуры можно покрыть прямоугольниками сверху или снизу (полученная площадь будет соответственно больше или меньше искомой площади фигуры).
Покрытие пятью прямоугольниками сверху и двенадцатью прямоугольниками снизу (в этом случае первый прямоугольник не виден, так как имеет нулевую высоту).
Основная теорема анализа, открытая Ньютоном и Лейбницем, связывает операции дифференцирования и интегрирования. Применив эту теорему к функции f(x) = √x график которой ограничивает рассматриваемую фигуру, получим первообразную функцию
Необходимо вычислить значения этой функции на концах рассматриваемого отрезка (в нашем случае — в точках 0 и 1), после чего найти разность F(1) — F(0). Таким образом, точное значение площади фигуры, ограниченной кривой, вычисляется следующим образом
Возведение в куб
Кубом называется не только правильный многогранник, каждая сторона которого представляет собой квадрат, но и результат умножения числа на само себя трижды, то есть возведения в третью степень. Это совпадение не случайно — если мы возведем число в третью степень, то есть умножим его на само себя трижды, то получим объем куба, сторона которого выражается этим числом.
Если с квадратурой была связана классическая древнегреческая задача о квадратуре круга, то с возведением в куб — задача об удвоении куба. По легенде, эпидемия чумы, разразившаяся в Афинах в 428 году до н. э., так напугала горожан, что афинским правителям пришлось обратиться за помощью к богу Аполлону. Дельфийский оракул при храме Аполлона сказал, что если построить жертвенник в два раза большего объема, чем тот, что находился в храме Аполлона, то чума прекратится. Хотя со временем эпидемия затихла сама собой, все попытки построить жертвенник в два раза большего объема потерпели неудачу.
Еврипид в одном из своих произведений так описал задачу об удвоении куба. Царь Минос при постройке гробницы своего сына Главка объявил, что мавзолей кубической формы с длиной стороны в сто шагов слишком мал для царского сына, и повелел удвоить его объем, сохранив прежнюю форму, для чего потребовал увеличить сторону мавзолея вдвое. Минос допустил грубую ошибку: если удвоить сторону куба, то объем полученного куба будет не в два, а в восемь раз больше исходного.
Древнегреческие математики не располагали современной алгебраической нотацией и должны были решить задачу об удвоении куба исключительно при помощи циркуля и линейки. Чтобы найти сторону х квадрата, площадь которого в два раза больше площади квадрата со стороной а, они вычисляли среднее пропорциональное а и 2а:
a/x = x/2a, следовательно, x√2 = a
