Близнец бесконечности
Бог создал целые числа, все остальное — дело рук человека.
Леопольд Кронекер
Ноль и бесконечность всегда выглядели подозрительно похожими друг на друга. Умножьте ноль на что угодно, и вы получите ноль. Умножьте бесконечность на что угодно, и вы получите бесконечность. Деление числа на ноль дает бесконечность, деление числа на бесконечность дает ноль.
Прибавление ноля к числу оставляет число без изменения. Прибавление числа к бесконечности оставляет бесконечность без изменения. Это сходство было очевидным со времен Ренессанса, но математикам пришлось ждать до конца Французской революции, прежде чем они открыли большой секрет ноля.
Ноль и бесконечность — две стороны одной медали, равные и противоположные, инь и ян, одинаково могучие противники на противоположных концах области чисел. Причиняющая неприятности природа ноля связана со странной силой бесконечности, и можно понять бесконечное, изучая ноль. Чтобы узнать об этом, математикам пришлось погрузиться в мир воображаемого, странный мир, где окружности — прямые, прямые — окружности, а бесконечность и ноль находятся на противоположных полюсах.
…Прекрасное и удивительное убежище божественного духа — почти земноводное между существующим и не существующим.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Ноль — не единственное число, которое веками отвергалось математиками. Как и ноль, страдавший от предубеждения греков, игнорировались и другие числа — за то, что не имели геометрического смысла. Одним из таких чисел было i, обладавшее ключом к странным особенностям ноля.
Алгебра предложила новый способ смотреть на числа, совершенно оторванный от греческих геометрических идей. Вместо того чтобы пытаться измерить площадь под параболой, как это делали греки, ранние алгебраисты искали решения уравнений, определявших соотношения между разными числами. Например, простое уравнение 4x — 12 = 0 описывает, как неизвестная величина x соотносится с числами 4, 12 и 0. В данном случае x равен 3. Подставьте 3 вместо x в данном уравнении, и вы сразу увидите, что уравнение выполняется: 3 — это решение уравнения 4x — 12 = 0.
Начав нанизывать символы, чтобы получить уравнение, вы можете столкнуться с чем-то неожиданным. Например, возьмите то же уравнение и замените в нем знак «–» на знак «+». Вы получите совершенно невинно выглядящее уравнение 4x + 12 = 0, однако теперь его решение –3, отрицательное число.
Как и в случае с нолем, который индийские математики принимали, в то время как европейские веками отвергали, Восток принял и отрицательные числа, которые Запад пытался игнорировать. Еще в XVII веке Декарт отказывался признавать отрицательные числа корнями уравнений. Он называл их «ложными корнями». Это объясняет, почему он никогда не распространял свою систему координат на отрицательные числа. Декарт оказался жертвой своего успеха соединения алгебры с геометрией. Отрицательные числа давно были полезны алгебраистам, даже западным. Они все время возникали при решении уравнений, таких как квадратные.
Линейное уравнение вроде 4x — 12 = 0 решить чрезвычайно легко, и проблемы такого рода не занимали алгебраистов надолго. Они вскоре обратились к более трудным проблемам — квадратным уравнениям, начинавшимся с выражения x2, таким как x2 — 1 = 0. Квадратные уравнения сложнее линейных, кроме всего прочего, они имеют два различных корня. Например, уравнение x2 — 1 = 0 имеет два решения: 1 и –1. (Подставьте –1 или 1 в уравнение вместо x, и вы увидите, что получится.) Любое из этих решений работает, поскольку, как выяснилось, выражение x2 — 1 распадается на (x — 1)(x + 1), делая ясным, что если x равен +1 или –1, x2 — 1 делается равным нолю.
Хотя квадратные уравнения более сложны, чем линейные, существует простой способ нахождения корней квадратного уравнения. Знаменитая формула, венчающая изучение алгебры в школе, дает значения корней уравнения ax2 + bx + c = 0: x = (–b ± √(b2 — 4ac) / 2a. Знак «+» дает нам один корень, а знак «–» дает другой. Квадратичная формула была известна не одно столетие; математик IX века аль-Хорезми знал, как решить почти любое квадратное уравнение, хотя, по-видимому, не рассматривал как корни отрицательные числа. Вскоре после него алгебраисты научились принимать отрицательные числа за правомерные решения уравнений. С мнимыми числами, впрочем, дело обстояло несколько иначе.
Мнимые числа никогда не появлялись в линейных уравнениях, но начали возникать в квадратных. Рассмотрим уравнение х2 + 1 = 0. Ни одно число явно не удовлетворяет этому уравнению: подстановка –1; 3; –750; 235,23 или любого другого положительного или отрицательного числа не дает правильного ответа. Выражение просто не желает разлагаться. Хуже того, когда вы попытаетесь использовать формулу, вы получите два глупо выглядящих ответа: + √–1 и –√–1.
Эти выражения, похоже, не имеют смысла. Индийский математик Бхаскара писал в XII веке, что «не существует квадратного корня из отрицательного числа, потому что отрицательное число не является квадратом». Бхаскара и другие имели в виду, что когда вы возводите в квадрат положительное число, вы получаете положительное число: например, дважды два равно четырем. Когда вы возводите в квадрат отрицательное число, вы все равно получаете число положительное: –2, умноженное на –2, все равно дает 4. Когда вы возводите в квадрат ноль, вы получаете ноль. Положительные числа, отрицательные числа и ноль все дают вам неотрицательные квадраты, и эти три возможности охватывают всю числовую ось. Это значит, что не существует числа на числовой оси, которое при возведении его в квадрат давало бы отрицательное число. Квадратный корень из отрицательного числа представлялся смешной концепцией.
Декарт полагал, что эти числа еще хуже, чем отрицательные, он придумал презрительное наименование для квадратных корней из отрицательных чисел: мнимые числа. Название прижилось, и со временем символ для корня квадратного из –1 стал обозначаться как i.
Алгебраисты i обожали, а почти все остальные ненавидели. Это был прекрасный инструмент для решения полиномов — выражений типа x3 + 3x + 1, куда входили разные степени x. На самом деле стоит включить i в область чисел, и любой полином делается решаемым; х2 + 1 неожиданно разлагается на (x — i ) (x + i), и корнями уравнения оказываются +i и –i. Кубические полиномы типа x3 — x2 + x — 1 разлагаются на три сомножителя, такие как (x — 1)(x + i) (x — i). Выражения четвертой степени, первый член которых имеет вид x4, и пятой степени — с первым членом вида x5 — разлагаются соответственно на четыре и пять сомножителей. Все полиномы степени n — имеющие член вида xn — разлагаются на n отдельных сомножителей. Это основная теорема алгебры.
Уже в XVI веке математики использовали числа, включающие i: так называемые комплексные числа — для решения кубических уравнений и уравнений четвертой степени. Хотя многие математики рассматривали комплексные числа как удобную фикцию, другие видели в них Бога.
Лейбниц полагал, что i — странная смесь существования и несуществования, что-то вроде гибрида между 1 (Богом) и 0 (пустотой) в его бинарной схеме. Лейбниц уподоблял i Святому Духу: оба обладают эфемерным и едва ли материальным существованием. Однако даже Лейбниц не осознавал того, что i в конце концов откроет связь между нолем и бесконечностью. Потребовалось два важных открытия в математике, прежде чем была открыта истинная зависимость.
Нельзя не увидеть, с какой простотой эти концепции ведут к свойствам, уже известным, и к бесконечному множеству других, которые обычная геометрия с легкостью объяснить не может.
Жан-Виктор Понселе
Первое открытие — проективная геометрия — родилось в суматохе войны. В 1700-е годы Франция, Англия, Австрия, Пруссия, Испания, Нидерланды и другие государства соперничали на европейской арене. Союзы снова и снова возникали и распадались, происходили территориальные стычки из-за колоний, страны стремились к господству в торговле с Новым Светом. Всю первую половину XVIII столетия Франция, Англия и другие страны враждовали, и примерно через четверть века после смерти Ньютона разразилась полномасштабная война. Франция, Австрия, Испания и Россия противостояли Англии и Пруссии.
