- Не спеши, - отвечал Радикс, - сейчас мы все это соорудим. А уж ты следи внимательнее за этим новым тонким и умным волшебством. Нам ведь нужно определить, существуют ли такие комплексные числа, чтобы при подстановке их в левую часть уравнения мы получили бы действительное число? Существуют ли, а если да, то каковы они?
- 419 -
- Тогда, - отвечал Илья, поразмыслив, - нам придется подставить в левую часть комплексное число (z+iy), а затем посмотреть, что из этого выйдет. Получится, значит, так:
r = (х + iy)2 - 8(х + iy) +q= (x2-y2-8x + q) + i{2xy-8y).
Мне кажется, что это выражение может оказаться действительным единственно только в том случае, если вся скобка, на которую умножается i, будет равна нулю.
- Так! - согласился Мнимий. - Верно. Это дело! А в каком случае так оно будет?
- Если, - отвечал мальчик, - я перепишу эту скобку немного иначе:
2ху - 8у = 2у(х - 4),
то ясно, что это может произойти только в двух случаях, либо игрек равен нулю (ну, тут все и так ясно, говорить нечего!), либо икс равен четырем.
- Хорошо! - сказал Мнимий, улыбаясь. - Теперь уж у нас все готово, и мы можем приступить к нашему волшебству, которое нам все и покажет в полной наглядности, как оно и полагается в нашем волшебном царстве, построенном на поучение самым любознательным и дерзновенным юношам...
- Дерзновенным! - с усмешкой повторил Радикс. - Но я слышал, как друг Пушкина, замечательный русский поэт и мыслитель Евгений Баратынский однажды написал:
Надейтесь, юноши кипящие!
Летите, крылья вам даны...
А ведь так оно и полагается, дружище, в нашем светлом волшебном и вполне серьезном царстве для любознательных ребят!
- Ура! - закричал Илья. - Давайте ваше новое волшебство. Вы уж такие волшебники...
- Потише ты! - возразил Радикс. - Не спеши. Поспеешь!
Это будет штучка довольно затейливая. Начнем с того, что это новое волшебство будет не на плоскости, а в пространстве.
- В трехмерном? - робко пропищал Илья.
- Неужто тебе трехмерного мало? - свирепо огрызнулся Радикс. - Можно и четырехмерное, да ты испугаешься! Ну!
Смотри во все глаза.
Радикс медленно и важно махнул рукой. И тотчас же перед Илюшей возникла плоскость, где были начерчены обыкновенные декартовы координаты (икс, игрек, как оно и полагается!).,
- 420 -
Направо от начала координат была проведена еще одна прямая, параллельная оси игрек, как раз в том самом месте, где икс равнялся четырем.
- Смекаешь? - спросил Радикс, указав Илье на эту четверку.
- Смекаю... - несмело откликнулся Илья, - то есть это та самая четверка, при которой моя скобка становится равной нулю? Так или нет?
- Именно! - отвечал ему его друг.
Смотри далее... Да смотри в оба! Полагаем твое q равным нулю... А теперь...
Тут Илюшина плоскость потихонечку повернулась и легла горизонтально, повиснув в воздухе примерно в сантиметрах шестидесяти от пола. Да так и застыла. Как только это произошло, из каждой точки креста, образованного осью иксов и новой прямой, которая пересекла ось иксов в точке, равной четырем, начали постепенно расти перпендикуляры к этой самой плоскости, которая и была плоскостью (х + iy), то есть плоскостью комплексных векторов (следи внимательней!).
И тут, опираясь на эти перпендикуляры и пересекая ось иксов (там, где игрек равен нулю), из концов этих перпендикуляров выросла парабола. Самая настоящая парабола с уравнением:
z = х2 - 8х.
А уравнение сейчас же засветилось справа сбоку красным огнем, чтобы Илья не путался! Затем (смотри хорошенько!) и-* прямой в новой вертикальной плоскости (опять же перпендикулярной к висящей в воздухе плоскости комплексных векторов) возникла еще одна парабола с уравнением:
z = 42 - у2 - 8•4 = - у2 - 16.
- 421 -
Теперь перед Илюшей было уже две параболы. Мнимий подошел совсем близко к этой высоковолшебной модели и мягким прикосновением своих волшебных пальчиков жестко скрепил эти две параболы так, что они оказались соединенными и своих вершинах, а плоскости их оказались перпендикулярными одна к другой.
- Видишь?- спросил Радикс. - Теперь смотри, что у нас будет получаться далее, когда мы начнем увеличивать постоянный член, то есть это твое q. Следи внимательно за этой фигурой из двух соединенных парабол, не отрывая глаз.
Вся эта сложная параболическая механика начала двигаться и прошла вверх на шестнадцать делений. Как только она остановилась, тотчас же сбоку справа засветилось ее уравнение красным огнем:
z2 = x2 - 8x+ 16= {х - 4)2.
А слева появилось еще одно уравнение (для другой параболы) - зеленое:
z = -у2.
- Внимание! - громко провозгласил Мнимий. - Если теперь далее мы еще будем увеличивать ваше q, то первая наша парабола уже не будет больше пересекать плоскость (x + iy), но зато нижняя парабола пересечет ее как раз дважды, в двух точках, которые, по мере увеличения вашего q, будут разбегаться в разные стороны по прямой (х = 4). Вот вам, мой юный друг, настоящая, подлинная картина того, как могут возникать комплексные корни квадратного уравнения. Поняли?
- Ох! - произнес Илюша, утирая пот со лба. - Что-то такое я сообразил. Но вы бы хоть еще разок повторили!..
И снова перед Илюшей возникла вся эта волшебно-наглядная математическая интермедия с самого начала до самого конца. Теперь Илюша как будто стал разбираться.
- Но как странно они скреплены, эти параболы, - сказал он, - они ведь зацепились одна за другую, точно они надеты одна на другую, как вот... если взять две дуги... ну, самые обыкновенные, которые на лошадей надевают... да и поддеть их так, чтобы одна висела на другой. Верно я говорю или нет?
- Точно так! - отвечал равнодушно Радикс[35].
- 422 -
- А все-таки, - снова начал Илюша, - я ерошу еще мне кое-что разъяснить. Про корни я теперь понял, но кое-что более общее мне неясно. Вы, Мнимий, помогла открыть тайны. .. Но ведь вы сами - тоже изобретение математиков?
- Не совсем изобретение. Мы - открытие! Природа царит во всем мире, а у нее свои законы. Труд человеческий в значительной мере определяется этими же законами. Ведь не одни человек трудится - птица вьет гнездо, пчела строит очень точные шестигранные соты, паук плетет многоугольники паутины, крот строит тоннели и так далее. Человек с помощью Математики изучает эти законы, и когда он открывает нечто новое в строении этих внутренних связей, неправильно говорить, что он что-то "изобрел". Он открыл то, что всегда лежало в основе некоторых явлений природы.
- Трудно понять, - произнес со вздохом Илюша, - как это такое: уравнение и природа? При чем тут природа?
- А когда вы бросаете камень, ведь он летит по параболе, не так ли? А парабола алгебраически - это квадратное уравнение. А те, кто путешествовал по Африке, рассказывают, что большие обезьяны, павианы, очень хорошо умеют бросать камни. Однако камень не рассуждает, кто его бросил - ученик седьмого класса или павиан, все равно он летит по параболе!
Илюша уставился на Мнимия и не знал, что отвечать.
- Ну как, Илюша? - спросил Радикс. - Долетел до тобя этот камушек?
- Не знаю! - ответил в недоумении Илюша. - С павианом действительно как-то странно получается...
- Крепись! - посоветовал Радикс. И добавил: - Был в древности такой философ, Платон. Он любил пересказывать речи другого философа, своего современника, Сократа. И вот в одном из сочинений Платона Сократ говорит, что человек разумный "будет заниматься астрономией, как и геометрией, для того чтобы ставить задачи разуму", но не будет терять время на прихотливо-изящные разглагольствования о красоте звездного неба. Нет, он будет "искать истину" в явлениях подобного рода. А истина эта, как легко догадаться, заключается именно в математических законах движения небесных светил. Задача оказалась необычайно трудной и, не взирая на все грандиозное развитие древнегреческой математики, грекам полностью одолеть ее не удалось. Решение было получено только в семнадцатом веке нашей эры. Как ты знаешь, эти решения были связаны в первую голову с именем Иоганна Кеплера, одного из великих основателей математического естествознания, на основе которого построена вся современная цивилизация.
- Итак?.. - переспросил Мнимий.
- Не знаю... - с усилием выговорил Илюша. - Как-то все это в голове не укладывается
- 423 -
- Постой-ка, - сказал Радикс, - пожалуй, я приводу еще один пример, с которым ты уж спорить не станешь. Конечно, и юноша из седьмого класса и павиан - существа, не лишенные некоторого смысла, и, пожалуй, ты будешь колебаться, можно ли назвать их действия просто действиями Матушки Природы. Так вот тебе еще один пример, где одушевленные существа уж совсем не принимают никакого участия: по горе бежит маленький ручеек, наконец добегает до крутого обрыва и низвергается, скажем, метров на двадцать с лишним (высота шестиэтажного дома!) тоненьким водопадом в одну струйку. Ясно ли тебе, что и эта водопадная струя будет иметь строение той же самой параболы? Это ты можешь проверить самым простым опытом с резервуаром, водой и резиновой трубкой. Отсюда ясно, что парабола имеет в мире, независимо от человека и его мыслительных способностей, совершенно объективное существование, независимое от нас.
