А то, что вы хотите узнать, можно показать на геометрическом примере. Сначала мы возьмем обычную декартову плоскость, затем еще одну, которая будет комплексной, и она же будет полупрозрачной... А вы, юноша, дайте мне квадратное уравнение поудобней!
- Пожалуйста! - не задумываясь, ответил наш герой, -
х2 - 8х+ 15 = 0.
Три и пять. Лучше не придумаешь.
- Сойдет, - ответил Мнимий. - Дальше так: пусть перед нами встанет первая плоскость, на ней оси деления и парабола. А комплексная плоскость пусть станет перед первой вплотную. Она полупрозрачная, и через нее мы отлично увидим первую.
Так все и случилось. Сперва возникла обычная плоскость, причем ось абсцисс была голубая, а ось ординат розовая, потом возникла и темно-синяя парабола. А на делениях ( + 3) и (+5), там, где были корни квадратного уравнения, где парабола пересекла ось абсцисс, ярко горели две блестящие оранжевые точки.
- Вот и корни! - сказал Илюша.
- А теперь мы сотворим и комплексную.
И действительно, тут же, поправей, возникла еще одна плоскость, не очень заметная, матовая. На ней были тоже две взаимно перпендикулярные оса, действительная и мнимая, только они были совсем тоненькие. В начале координат сияла зеленая точка.
- 415 -
- Подвиньтесь! - вежливо попросил Мнимий.
И тут комплексная плоскость подвинулась налево и стала так аккуратно, что оси на том и на другом чертеже почти слились (они ведь были в одном масштабе!), но все было очень хорошо видно через вторую полупрозрачную плоскость.
- А зеленая точка на нуле, - сообразил мальчик, - означает, что ничего мнимого пока еще нет?
- По-видимому, так... - раздался торжественный шепот прямо из самого экрана: волшебные чертежи, оказывается, отлично умеют говорить!
- Итак, - продолжал Мнимий, - следите за мной хорошенько, и вскоре все станет ясно. Вот перед вами парабола!
Она, как вы знаете, прекрасная гречанка, и от роду ей очень много лет. Для того чтобы все было не так хитро, мы будем рассматривать ее в таком виде, что коэффициент при иксе во второй степени будет равен единице.
- То есть, - подхватил Илья, - мы берем выражение
ах2 + bх + с
и делим все члены на а.
Теперь перед Илюшей сиял график квадратного трехчлена, то есть чертеж параболы, обращенной вершиной вниз, ее ось стояла вертикально, и вершина параболы была ниже оси абсцисс (которая, как мы знаем, горизонтальная). Парабола пересекала ось абсцисс дважды. Недалеко засветилось и само уравнение:
х2 - 8х+ 15 = 0.
- А какие у нас корни? - спросил Мнимий.
- Два действительных корня, потому что парабола пересекает ось абсцисс два раза, - отвечал мальчик.
- Справедливо. Теперь я попрошу параболу подняться немножко повыше.
Парабола охотно послушалась, и две оранжевые точки на горизонталях стали сближаться; и вот уже вершина параболы только касалась оси абсцисс в одной точке. Две оранжевые точки сошлись в одну.
- А теперь? - спросил Мнимий.
Рядом уже светилось и уравнение:
х2 - 8х + 16 = 0.
- А теперь, - отвечал Илья, - два одинаковых действительных корня, оба равны (+4).
- 416 -
- Так. Согласен. Попрошу еще вверх немного.
Послушная парабола согласилась и на это. И теперь вся она поднялась выше оси абсцисс, не касаясь ее. Вершина параболы по-прежнему висела над делением оси абсцисс, равным четырем. Однако как только вершина параболы вздумала оторваться от горизонтали, немедленно оси на полупрозрачной комплексной плоскости стали еще ярче, а зеленая точка в начале координат вспыхнула посветлее. Едва лишь горизонталь и вершина параболы расстались друг с другом, эта точка немедленно раздвоилась. И теперь уже две зеленые точки медленно поползли: одна вверх по мнимой оси, а другая по той же оси вниз. Затем обе эти точки остановились против деления три, только одна стояла против (+3), а другая против (-3).
- Ну-с, - произнес Мнимий, - я вас слушаю.
- Тут, - сказал Илюша, - оба корня комплексные. И они, конечно, сопряженные. Один будет равен (4 + 3i), а другой (4-3i). Если теперь открыть скобки в выражении
[x - (4 + 3i)] [х - (4 - 3i) ] = 0,
то получится вот что:
х2 - 8х + 25 = 0.
Этому уравнению соответствует парабола вот такая, как сейчас на нашем чертеже. А почему это так, сообразить нетрудно.
Ведь если написать:
[x - (a + bi)] [х - (a - bi) ] = 0,
то открой скобки и получишь:
х2 - 2ах+ (а2 + b2) = 0.
Вот и все! Проверить - одна минута.
- Точно! -подтвердил Мнимий. - А больше вы ничего не замечаете?
И вот только тут наш герой усмотрел, что парабола отразилась ниже действительной оси и висит там вершиной вверх.
Так что теперь уже перед ним были как бы две параболы...
А из самого начала координат (там, где пересекались обе оси) ползет яркий лиловый пунктир со стрелочкой на конце. Он добрался до точки с координатами D, 3), и стрелочка его остановилась, как только коснулась этой точки.
- 417 -
Илюша обернулся к Мнимию, но, к своему удивлению, обнаружил, что его приятель... исчез бесследно! Но когда он невольно слова перевел глаза на чертеж, он с удовольствием заметил, что лиловая стрелочка уже превратилась в самого Мнимия, который очень весело ему кивает из глубины чертежа!
- Вот я каков! - крикнул Мнимий из чертежа. - Могу вырасти, если парабола поднимется вверх...
Парабола стремительно рванулась ввысь, Мнимий, ринувшись за ней, вытянулся, стал длинный-длинный и страшно важный, ибо вершина параболы ушла куда-то очень высоко, а Мнимий остановился на 92-м делении по мнимой оси. Пока Мнимий удлинялся, в записи сверкающего уравнения значение свободного члена начало быстро увеличиваться (а коэффициент при неизвестном в первой степени оставался тем же).
И в конце концов вот что получилось:
х2 - 8х + 8480 = 0.
- А если вам так уж хочется, я могу стать и поскромнее!
Парабола стала, не торопясь, опускаться и остановилась против деления 19 на вертикальной оси.
Тут же засветилось и уравнение:
х2 - 8х + 377 = 0.
- Могу и вовсе исчезнуть!
Парабола опустилась до самой оси абсцисс, коснулась ее, и Мнимий исчез.
Илюша обернулся, и оказалось, что Мнимий уже снова стоит рядом с ними.
- Теперь вам ясно, как мы возникаем? Но вы, надо полагать, уже заметили, что, как только парабола оторвется от оси абсцисс, сейчас же снизу, как говорят, на нижней полуплоскости (потому что ось абсцисс делит плоскость пополам!), возникает ее отображение, а вместе с ним и мой сопряженный братец-близнец. Вот и все. Очень просто!
Парабола на чертеже снова поплыла вверх, а внизу опять засияло ее отображение, и тут же появилась еще одна лиловая стрелочка, направленная из начала координат вниз.
- Понятно, - сказал Илюша, - если сложить эти два вектора, то мнимые их части с разными знаками уничтожат друг друга и получится удвоенная величина действительной части.
Раздели пополам, и получишь точку, над которой находится вершина параболы. Все в порядке!
- Рад стараться! - отвечал Мнимий. - Конечно, парабола может выше оси абсцисс стоять и вершиной вверх, а не вниз, но, в общем, это безразлично.
- 418 -
- А почему вы говорите "отображение", а не "отражение"?
- Да так уж повелось от тех времен, когда вместо "отразилось" говорили "отобразилось". Это не так уж давно было, примерно во времена Лобачевского. Это слово встречается и у Гоголя. Имейте также в виду, что только под пером великого Эйлера мы получили все права гражданства в математике.
С вашего разрешения мы вернемся сейчас еще на некоторое время к решению уравнений. Тут вы и узнаете, как мы появились на белый свет, что мы помогли узнать математикам и как они с нашей помощью стали открывать одну тайну за другой.
- Ну, Илюша, как дела? - спросил с усмешкой Радикс-
Тебе все ясно?
- Не очень! - признался Илья со вздохом. - Нет, не очень.
А нельзя ли как-нибудь так придумать, чтобы не было двух разных плоскостей, а то меня путает, что их две? Ведь на самом-то деле это одно уравнение, а вовсе не два?
- Справедливо! - согласился Мнимий. - Действительно, одно.
- Может быть, попробовать еще? - предложил Радикс. - Возьмем еще одну параболу. Уравнение ее напишем так:
z = х2 - 8х + q.
Значит, свободный ее член у нас обозначается теперь буквой q.
Если попробовать решить квадратное уравнение:
х2 - 8х + q = 0,
мы получим...
- ...вот что! - сказал Илюша и написал:
Значит, пока наше q меньше шестнадцати, корни будут действительные, а если q больше шестнадцати, то комплексные.
- Разумеется! - согласился Мнимий.
- А когда q равно в точности шестнадцати, парабола только касается оси абсцисс в точке, равной четырем. Если же q равно нулю, то оба корня будут действительные - один равен нулю, а другой - восьми. Но только... как же нам теперь увидать еще и комплексные корни?
- Не спеши, - отвечал Радикс, - сейчас мы все это соорудим. А уж ты следи внимательнее за этим новым тонким и умным волшебством. Нам ведь нужно определить, существуют ли такие комплексные числа, чтобы при подстановке их в левую часть уравнения мы получили бы действительное число? Существуют ли, а если да, то каковы они?
