- Так вот, слушайте дальше. Если мы впишем в круг правильный выпуклый десятиугольник, то его сторона будет равна нашей величине х, помноженной на радиус большого круга, потому что если мы соединим концы одной из сторон десятиугольника с центром круга, то получим равнобедренный треугольник, угол при вершине которого, очевидно, равен тридцати шести градусам, то есть десятой части всей окружности. Боковые стороны равны радиусу описанного круга, а основание - стороне десятиугольника.
- 409 -
Следовательно, углы при основании будут иметь по семьдесят два градуса, и этот треугольник будет подобен только что рассмотренным. А если это так, то, следовательно, отношение стороны десятиугольника к радиусу снова равно тому же х. Ну, а теперь я посоветую вам, юноша, проделать еще кое-что своими собственными силами для того, чтобы ознакомиться поближе с Златоиссеченной Звездой. Согласны ли вы на это?
- Ну еще бы! - воскликнул Илюша. - Вполне согласен.
- Тогда вот что. Опишите круг около маленького пятиугольничка FGHIK (чертеж на странице 407) и найдите, как относится его радиус OG = r к радиусу большого круга OB = R.
Далее проведите прямые ВК и OG и из двух новых треугольников BKI и BGO попробуйте получить вот такое равенство:
R2 + R2x2 = (y + z)2
Что означает это равенство? Ясно, что R есть, во-первых, радиус описанного вокруг пятиугольника круга, а во-вторых, сторона вписанного шестиугольника. Поскольку мы ранее выяснили, что сторона правильного десятиугольника так относится к радиусу, как z к у, то, следовательно, эта сторона есть Fix.
Наконец, величина (у + z) есть не что иное, как сторона выпуклого пятиугольника. Следовательно, это наше равенство означает, что сумма квадратов длин сторон вписанных шестиугольника и десятиугольника равна квадрату длины стороны вписанного пятиугольника. И, сопоставляя это с известной вам теоремой Пифагора, мы можем утверждать, что стороны шестиугольника и десятиугольника могут быть сторонами прямоугольного треугольника, у которого гипотенузой будет сторона пятиугольника. Вы можете очень легко это проверить, вспомнив, что стороны этих вписанных многоугольников, будучи определены через радиус, равны:
Вот какие интересные выводы можно сделать из рассмотрения нашей Звезды. Что касается самого отношения золотого сечения, то оно примерно равно 0,618. Немало исследователей утверждало, что это самое приятное для глаза соотношение и что очень многое в природе, живописи, скульптуре и архитектуре строится именно по этому отношению.
- Конечно, эту Звезду очень приятно видеть, - сказал Илюша.
- Вполне с вами согласен, - отвечал Мнимий, - ибо это мудрый символ чистого и справедливого отношения.
- 410 -
Тут на чертеже, который был против Илюши, исчезли линии круга и выпуклого многоугольника, и осталась одна Звезда. Ее линии начали светиться золотистым светом.
Илюша стоял и любовался. Потом спросил у Мнимия:
- А как быть, если нужно разделить какой-нибудь отрезок в отношении золотого сечения? Можно получить это построением без многоугольников? И как вывести величину 0,618?
- О, это очень просто! - отвечал его собеседник. - Возьмем некоторый отрезок, который вы хотите разделить по золотому сечению. Пусть его длина будет а, и пусть большая часть его будет у. Построим квадрат на этом отрезке. Разделим его основание пополам и из средней точки основания проведем прямую в одну из вершин квадрата. Далее опишем из средней точки основания дугу радиусом, равным этой прямой.
Тогда диаметр получившегося круга разделится на три неравные части: ЕА = у, АВ = a, BF = у. Ясно, что отрезок AD = АВ есть не что иное по отношению к отрезкам ЕА и AF, как их средняя геометрическая, а вы уж ее строили в Схолии Пятнадцатой. При этом отметим: 1) отрезок CF есть сторона правильного выпуклого пятиугольника, вписанного в круг радиуса а; 2) отрезок BF есть сторона правильного десятиугольника; 3) отрезок СЕ есть сторона правильного звездчатого пятиугольника. А что это действительно так, вы можете убедиться, разобрав этот чертеж. Что же касается численной величины отношения золотого сечения, то она находится без труда из таких же соображений. Допустим, что мы хотим разделить величину а в отношении золотого сечения. Тогда одна часть будет у, а другая (а - у). Запишем:
y/a = (а - y)/y
у2 = а (а - у),
у2 = а2 - ау.
- 411 -
Перенесем ау в левую часть и возьмем у за скобку. Получим:
у(y + а) = a2.
Теперь поделим обе части на а2. Получаем:
у/a(1 + y/а) = 1.
А теперь вспомним, что
y/a = x
и подставим:
х(1 +х) = 1; х2 + х - 1 =0.
Открывая скобки, получаем квадратное уравнение. Положительный корень его и даст нам нужную величину. Просто и ясно!
- Хорошо, - сказал мальчик, - но, быть может, кстати, вы мне расскажете, как это получается, что вы можете делать такие преобразования поворота? Я как-то в толк не возьму, как это у вас выходит...
- Можно попробовать, - отвечал спокойно Мнимий. - Представьте себе, что перед вами висит диск, укрепленный в центре... ну хотя бы гвоздиком! И вы хотите его повернуть, скажем, против часовой стрелки на некоторый угол. Разберемте-ка, что для этого мы должны сделать. Наметим на краю диска некоторую точку (любую!). Она определяется некоторым комплексным вектором, не так ли? Но раз наш вектор есть комплексное число, которое после поворота должно измениться, значит, первый вектор заменится новым. Каким же? Ясно, что для этого надо первый вектор умножить на некоторый единичный вектор (мы ведь наш диск только поворачиваем, не более того!), аргумент которого равен углу φ. Давайте теперь множить. Из вектора (x+iy) мы должны получить новый вектор (x' + iy'), то есть умножить:
(х + iy) (cos φ + i sin φ) = x' + iy',
откуда мы получаем такие равенства:
х' = х cos φ - у sin φ
у' = х sin φ + у cos φ.
Отсюда легко видеть, что координаты нового вектора суть не что иное, как преобразованные координаты первого вектора.
- 412 -
При этом они преобразованы так, что мы получаем очень простые (линейные) соотношения, куда не входят никакие иные степени, кроме первой. Все это можно коротко записать в виде так называемой матрицы преобразования:
|cosφ -sinφ|
|sinφ cosφ |
Первая строка матрицы указывает, на что надо умножить х и у первого вектора, чтобы при помощи сложения получить х второго; вторая строка дает то же самое для того, чтобы получить у второго. Таким образом (с некоторым усложнением, разумеется) можно делать и гораздо более сложные преобразования, например, превратить круг в эллипс, растянувши его в направлении одной из осей. В дальнейшем из этого вырастает целая "арифметика матриц", в некоторых случаях очень близкая к арифметике комплексных чисел. Все это в современной математике имеет серьезное значение. Так что наш знаменитый Кот в сапогах (имейте это в виду, мой дорогой юноша!) - это довольно-таки важная персона, особенно в наше время.
Вот что я вам доложу!
- 413 -
особенно примечательна тем, что в ней наш доблестный путешественник знакомится с историей мнимых человечков, узнает, что произошло в городе Болонья в XVI веке, как павиан умеет бросать камни, и что об этом думали математики. Илюша в этой схолии не раз попадает в затруднительное положение, и только - его закадычные друзья спасают его от снежной бури, а затем Илюша снова встречает своего старого знакомого Дразнилку, который и помогает нашему герою решить трудную задачу.
Голубоватое поблескивание откуда-то сбоку неожиданно оказалось снова симпатичной фигуркой Мнимия Радиксовича.
Он очень любезно улыбнулся и заметил:
- Чудесные звезды, не правда ли?
- Мне очень хотелось бы, - сказал Илюша, - чтобы вы еще как-нибудь показали мне подробно, как вы, мнимые человечки, возникаете из квадратного уравнения?
- Вы ведь знаете, - начал свой рассказ Мнимий, - что, когда квадратное уравнение "не решается", мы получаем два комплексных корня, причем они таковы, что действительные части их равны, а мнимые отличаются по знаку:
а + bi; а - bi.
Такие комплексные числа называются сопряженными.
- 414 -
Сопряженные комплексные числа обладают одним замечательным свойством: их сумма так же, как и их произведение, является действительными числами. Это нетрудно проверить!
- Знаю! - откликнулся Илья. - Я уж пробовал. Мне кажется, как будто, что при перемножении мнимых чисел разные знаки дают плюс, а одинаковые минус...
- Ученые, - продолжал Мнимий, - сперва, в семнадцатом веке, догадались, а через два века и доказали, что если принимать в расчет все корни уравнения, и действительные и комплексные, то вместе их будет всегда столько же, сколько единиц в показателе степени старшего члена уравнения. Это положение, чрезвычайно важное для алгебры, обычно называется основной теоремой алгебры[34]. Попутно выяснилось, что комплексных корней всегда бывает четное число, и у каждого такого корня имеется сопряженный комплексный корень.
