Вам должно становиться понятно, в какую форму выливается квантовомеханическое описание, когда мы описываем поведение чего-либо во времени.
* Если вы пропустили гл. 4, то можете пока просто считать (5.35) невыведенным правилом. Позже, в гл. 8, мы разберем прецессию спина подробнее, будут получены и эти амплитуды.
* Мы предполагаем, что фазы обязаны иметь одно и то же значение в соответствующих точках в двух системах координат. Впрочем, это весьма тонкое место, поскольку в квантовой механике фаза в значительной степени произвольна. Чтобы до конца оправдать это предположение, нужны более детальные рассуждения, учитывающие интерференцию двух или нескольких амплитуд.
Глава 6
ГАМИЛЬТОНОВА МАТРИЦА
§ 1. Амплитуды и векторы
§ 2. Разложение векторов состояний
§ 3. Каковы базисные состояния мира?
§ 4. Как состояния меняются во времени
§ 5. Гамильтонова матрица
§ б. Молекула аммиака
Повторить: гл. 49) (вып. 4) «Собственные колебания»
§ 1. Амплитуды и векторы
Прежде чем приступить к основной теме этой главы, мы хотели бы изложить несколько математических идей, которые часто встречаются в книгах по квантовой механике. Знание их облегчит вам чтение других книг или статей по этому предмету. Первая идея — это тесное математическое подобие между уравнениями квантовой механики и формулами для скалярного произведения двух векторов. Вы помните, что если c и j — два состояния, то амплитуда начать в j и кончить в c может быть записана в виде суммы (по полной совокупности базисных состояний) амплитуд перехода из j в одно из базисных состояний и затем из этого базисного состояния уже в c:
Мы объясняли это при помощи прибора Штерна — Герлаха, но сейчас напоминаем вам, что в этих приборах нет нужды. Уравнение (6.1) — это математический закон, который верен всегда, все равно, есть ли у нас фильтровальное оборудование или нет; вообще совсем не обязательно воображать наличие какого-то прибора. Можно рассматривать это просто как формулу для амплитуды <c|j>.
Сопоставим (6.1) с формулой для скалярного произведения двух векторов В и А. Если В и А — обычные трехмерные векторы, то скалярное произведение можно написать так:
считая, что символ еi обозначает любой из трех единичных векторов в направлениях х.у и z. Тогда B·e1— это то, что обычно называют Вх, а В·е2— то, что обычно называют By, и т,д. Значит, (6.2) эквивалентно
ВхАх+ВуАу+ВгАг,
а это и есть скалярное произведение В·А.
Сравнение (6.1) с (6.2) обнаруживает следующую аналогию. Состояния c и j соответствуют двум векторам А и В. Базисные состояния i отвечают специальным векторам еi, к которым мы относим все прочие векторы. Любой вектор может быть представлен как линейная комбинация трех «базисных векторов» еi. Далее, если вам известны коэффициенты при каждом «базисном векторе» в этой комбинации, т. е. три его компоненты, то вы знаете о векторе все. Точно так же любое квантовомеханическое состояние может быть полностью описано амплитудами <i|j> перехода в базисные состояния, и если эти коэффициенты вам известны, то вы знаете все, что можно знать о состоянии. Из-за этой тесной аналогии то, что мы назвали «состоянием», часто именуют «вектором состояния».
Раз базисные векторы еi перпендикулярны друг другу, то существует соотношение
Это соответствует соотношению (3.25) между базисными состояниями i
Теперь вы понимаете, почему говорят, что базисные состояния i все «ортогональны друг другу».
Между (6.1) и скалярным произведением есть одно минимальное различие. У нас
а в векторной алгебре
А·В = В·А.
В квантовой механике с ее комплексными числами мы обязаны выдерживать порядок множителей, а в скалярном произведении порядок неважен.
Теперь рассмотрим такое векторное уравнение:
оно немножко необычно, но тем не менее верно. И означает оно то же самое, что и
Заметьте, однако, что в (6.6) входит величина, отличная от скалярного произведения. Скалярное произведение — это просто число, а (6.6) — векторное уравнение. Одним из великих приемов векторного анализа было абстрагировать от уравнений идею самого вектора. Равным образом можно попытаться абстрагировать от уравнения (6.1) то, что в квантовой механике является аналогом «вектора». И это действительно можно сделать. Уберем <c| по обе стороны (6.1) и напишем такое уравнение (не пугайтесь — это просто обозначение, и через пару минут вы узнаете, что означают эти символы):
Скобку <c|j> представляют себе состоящей из двух половинок. Вторую половинку |j> называют кет, а первую <c| называют брэ (поставленные рядом они образуют брэ-кетєbгаcket, скоб-каєскобка — обозначение, предложенное Дираком); полусимволы <c| и |j> также называют векторами состояний. Это не числа отнюдь, а нам вообще-то нужно, чтобы результаты наших расчетов выражались числами; стало быть, такие «незаконченные» величины представляют собой промежуточные шаги в расчетах.
До сих пор мы все свои результаты выражали с помощью чисел. Как же мы умудрялись избегать векторов? Забавно, что даже в обычной векторной алгебре можно сделать так, чтобы во все уравнения входили только числа. Например, вместо векторного уравнения типа
F=та всегда можно написать
C·F=C·(ma).
Получается уравнение, связывающее скалярные произведения и справедливое для любого вектора С. Но если оно верно для любого С, то едва ли имеет смысл вообще писать это С!
Теперь вернемся к (6.1). Это уравнение справедливо при любых c. Значит, для сокращения письма мы должны просто убрать c и написать вместо (6.1) уравнение (6.8). Это уравнение снабдит нас той же самой информацией, лишь бы мы понимали, что его всегда надлежит «завершить», «умножив слева на...», т. е. просто дописав некоторое <c| по обе стороны знака равенства. Следовательно, (6.8) означает в точности то же, что и (6.1),— ни более ни менее. Если вы предпочитаете числа, вы подставляете то <c|, которое вам нужно.
Может быть, вы в уравнении (6.8) уже нацелились и на j? Раз (6.8) справедливо при любом j, зачем же нам его держать? И действительно, Дирак предлагает абстрагироваться и от j, так что остается только
Вот он каков — великий закон квантовой механики! Этот закон утверждает, что если вы вставите любые два состояния c и j с обеих сторон, слева и справа, то опять вернетесь к (6.1). Уравнение (6.9) вообще-то не очень полезно, но зато является неплохим напоминанием о том, что уравнение выполняется для любых двух состояний.
§ 2. Разложение векторов состояний
Посмотрим на уравнение (6.8) еще раз; его можно рассматривать следующим образом. Любой вектор состояния |j> может быть представлен в виде линейной комбинации совокупности базисных «векторов» с подходящими коэффициентами, или, если угодно, в виде суперпозиции «единичных векторов» в подходящих пропорциях. Чтобы подчеркнуть, что коэффициенты <i|j> — это просто обычные (комплексные) числа, напишем
<i|j>=Сi. Тогда (6.8) совпадает с
Такое же уравнение можно написать и для всякого другого вектора состояния, скажем для |c>, но, конечно, с другими коэффициентами, скажем с Di. Тогда будем иметь
где Di — это просто амплитуды <i|c>.
Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от j. Тогда мы бы имели
Вспоминая, что <c|i>=<i|c>*, можно записать это в виде
А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <c|j>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):
