А как обстоит дело с системами нескольких электронов? В этих случаях базисные состояния становятся сложнее. Пусть электронов пара. Во-первых, имеются четыре мыслимых состояния по отношению к спину: у обоих электронов спины вверх, или у первого вверх, а у второго вниз, или у первого вниз, а у второго вверх, или у обоих вниз. Кроме того, нужно указать, что у первого электрона импульс p1 а у второго импульс р2. Базисные состояния для двух электронов требуют указания двух импульсов и двух значков для спина. Для семерки электронов нужно указать семь пар таких чисел.
Если же имеются протон и электрон, то нужно указать направление спина протона и его импульс и направление спина электрона и его импульс. По крайней мере, в каком-то приближении это так. Мы на самом деле не знаем, каким является правильное представление для нашего мира. Мы начинаем с предположения, что если указать спин и импульс электрона и то же самое для протона, то получатся базисные состояния; все это очень хорошо, но как быть с «протоньими внутренностями»? В самом деле, рассудим следующим образом. В атоме водорода, в котором имеются один протон и один электрон, приходится описывать множество различных базисных состояний, отмечать направления вверх и вниз у спинов протона и электрона и всевозможные импульсы протона и электрона. Затем имеются различные комбинации амплитуд Сi;все вместе они описывают характер атома водорода в тех или иных состояниях. Но представьте, что мы смотрим на целый атом водорода, как на «частицу». Если бы мы не знали, что он состоит из протона и электрона, то могли бы сказать: «О, я знаю, какие у него базисные состояния — они соответствуют разным импульсам атома водорода». Но это на самом деле не так, ведь у атома водорода есть какие-то внутренние части. Значит, у него могут быть различные состояния с разной внутренней энергией, и описание реальной природы потребовало бы дальнейших подробностей.
То же и с протоном. Вопрос стоит так: есть ли у протона внутренние части? Должны ли мы описывать протон, задавая все мыслимые состояния протонов, мезонов или странных частиц? Мы этого не знаем. И даже хотя мы допускаем, что электрон прост и все, что можно о нем сказать,— это задать его импульс и спин, но ведь не исключена возможность завтра открыть наличие внутри электрона каких-то колесиков и шестеренок. А это будет означать, что наше представление неполно, или неверно, или неточно, так же как и представление атома водорода, описывающее только его импульс, было бы неполным, потому что оно пренебрегало бы тем фактом, что атом водорода может оказаться возбужденным изнутри. Если электрон тоже может оказаться возбужденным изнутри и превратиться еще во что-то, например в мюон, то его следовало бы описывать не простым заданием состояний новой частицы, а, вероятно, в терминах более сложных внутренних колесиков. Главная сегодняшняя проблема в изучении фундаментальных частиц и состоит в том, чтобы открыть, каковы правильные представления для описания природы. В настоящее время мы полагаем, что для электрона достаточно указывать его импульс и спин. Но мы полагаем также, что существует идеализированный протон, имеющий при себе свои p-мезоны, свои K-мезоны и т. д., и все они должны быть отмечены. Но ведь отмечать несколько десятков частиц смысла мало! Вопрос о том, что есть фундаментальная частица, а что — не фундаментальная,— вопрос, о котором столько сейчас говорится,— это вопрос о том, на что будет похоже окончательное представление в окончательном квантовомеханическом описании мира. Будет ли такая вещь, как импульс электрона, все еще способна описывать природу? И вообще нужно ли весь вопрос ставить именно таким образом! Такие мысли беспрерывно возникают в любом научном исследовании. Во всяком случае, проблема нам понятна — как найти представление? Но ответа мы не знаем. Мы даже не знаем, «в этом ли состоит» проблема или нет; но если проблема в этом, то сперва нужно попытаться узнать, «фундаментальна» или нет каждая отдельная частица.
В нерелятивистской квантовой механике, где энергии не очень высоки и где вы не затрагиваете внутреннего устройства странных частиц и т. п., вы можете делать весьма сложные расчеты, не заботясь об этих деталях. Вы можете просто остановиться на импульсах и спинах электронов и ядер и все будет в порядке. В большинстве химических реакций и других низкоэнергетических событий в ядрах ничего не происходит; они не возбуждаются. Дальше, если атом водорода движется медленно и если он спокойно стукается о другие атомы водорода и ничего внутри него не возбуждается, не излучается, никаких сложностей не происходит, а все остается в основном состоянии энергии внутреннего движения, — в этом случае вы можете пользоваться приближением, при котором об атоме водорода говорят как об отдельном предмете, или частице, не заботясь о том, что он может что-то внутри себя с собой сделать. Это будет хорошим приближением до тех пор, пока кинетическая энергия в любом столкновении будет заметно меньше 10 эв, т. е. энергии, требуемой для того, чтобы возбудить атом водорода до следующего внутреннего состояния. Мы часто будем прибегать к приближению, при котором исключается возможность внутреннего движения, тем самым уменьшая число деталей, которые должны быть учтены в наших базисных состояниях. Конечно, при этом мы опускаем кое-какие явления, которые проявляются (как правило) при каких-то высших энергиях, но такое приближение сильно упрощает анализ физических задач. Например, можно рассуждать о столкновении двух атомов водорода при низкой энергии (или о любом химическом процессе), не заботясь о том, что атомные ядра могут возбуждаться. Итак, подведем итог. Когда мы вправе пренебречь влиянием любых внутренних возбужденных состояний частицы, мы вправе выбрать базисную совокупность из состояний с определенным импульсом и z-компонентой момента количества движения.
Первой проблемой при описании природы является отыскание подходящего представления для базисных состояний. Но это только начало. Надо еще уметь сказать, что «случится». Если известны «условия» в мире в один момент, то мы хотим знать условия в более поздний момент. Значит, надо также найти законы, определяющие, как все меняется со временем. Мы теперь обращаемся ко второй части основ квантовой механики — к тому, как состояния меняются во времени.
§ 4. Как состояния меняются во времени
Мы уже говорили о том, как отображать ход событий, где мы что-то пропускаем через прибор. Но самый привлекательный, самый удобный для рассмотрения «опыт» состоит в том, что вы останавливаетесь и ждете несколько минут, т. е. вы приготовляете состояние j и, прежде чем проанализировать его, оставляете его в покое. Быть может, вы оставите его в покое в каком-то электрическом или магнитном поле — все зависит от физических обстоятельств. Во всяком случае, какими бы ни были условия, вы от момента t1до момента t2 оставляете объект на свободе. Допустим, что он выпущен из нашего первого прибора в состоянии j в момент t1. А затем он проходит через «прибор», в котором он находится до момента t2. Во время такой «задержки» могут продолжаться различные события, прилагаться внешние силы,— словом, что-то в это время случается. После такой задержки амплитуда того, что этот объект обнаружится в состоянии c, уже не та же самая, какой она была бы, если бы задержки не было. Так как «ожидание» — это просто частный случай «прибора», то можно описать то, что происходит, задав амплитуду в том же виде, как в уравнении (6.17). Поскольку операция «ожидания» представляет особую важность, мы вместо А обозначим ее U, а чтобы отмечать начальный и конечный моменты t1 и t2, будем писать U (t2, t1). Интересующая нас амплитуда — это
Как и всякая подобная амплитуда, она может быть представлена в той или иной базисной системе в виде
Тогда U описывается заданием полной совокупности амплитуд — матрицы
Кстати, следует отметить, что матрица <i|U(t2, t1|j> могла бы дать гораздо больше всяких деталей, чем нам обычно нужно. Теоретик высокого класса, работающий в физике высоких энергий, рассматривает примерно такие проблемы (потому что именно так обычно ставятся эксперименты): он начинает с двух частиц, скажем с протона и протона, налетающих друг на друга из бесконечности. (В лаборатории обычно одна частица покоится, другая же вылетает из ускорителя, который по атомным масштабам пребывает в бесконечности.) Они сталкиваются, и в итоге появляются, скажем, два К -мезона, шесть p-мезонов и два нейтрона с определенными импульсами в определенных направлениях. Какова амплитуда того, что это случится? Математика здесь выглядит так. Состояние j отмечает спины и импульсы сближающихся частиц. а c — это сведения о том, что получается в конце. К примеру, с какой амплитудой вы получите шесть мезонов, идущих в таких-то и таких-то направлениях, а два нейтрона, вылетающих вот в этих направлениях и со спинами, торчащими так-то и так-то. Иными словами, c отмечается заданием всех импульсов, спинов и т. п. конечных продуктов. И вот работа теоретика состоит в том, чтобы подсчитать амплитуду (6.27). Однако на самом деле его интересует только частный случай, когда t1=-Ґ, а t2 =+Ґ. (У нас не бывает экспериментальных данных о детальном ходе процесса, известно только, что вошло и что вышло. Предельный случай U (t2, t1)при t1®-Ґ и t2®+Ґ обозначается буквой S; теоретик нуждается в величине
