где Di — это просто амплитуды <i|c>.
Представим, что мы начали бы с того, что в (6.1) абстрагировались бы от j. Тогда мы бы имели
Вспоминая, что <c|i>=<i|c>*, можно записать это в виде
А теперь интересно вот что: чтобы обратно получить <c|j>, можно просто перемножить (6.13) и (6.10). Только, делая это, надо быть внимательным к индексам суммирования, потому что они в разных уравнениях разные. Перепишем сперва (6.13):
Это ничего не меняет. Объединяя с (6.10), получаем
Вспомните, однако, что <j|i>=dij, так что в сумме останутся только члены с j=i. Выйдет
где, как вы помните, d*i=<i|c>*=<c|i>, а Ci=<i|j>. Опять мы являемся свидетелями тесной аналогии со скалярным произведением
Единственная разница — что Diнужно комплексно сопрягать. Значит, (6.15) утверждает, что если разложить векторы состояний <c| и |j> по базисным векторам <i| или |i), то амплитуда перехода из j в c дается своего рода скалярным произведением (6.15). А это просто (6.1), записанное в других символах. Мы ходим по кругу, привыкая к новым символам.
Может быть, стоит подчеркнуть, что в то время, как пространственные трехмерные векторы выражаются через три ортогональных единичных вектора, базисные векторы |i> квантовомеханических состояний должны пробегать всю совокупность, отвечающую данной задаче. В зависимости от положения вещей в нее может входить два или три, пять или бесконечно много базисных состояний.
Мы говорили также о том, что происходит, когда частицы проходят через прибор. Если мы выпустим частицы в определенном состоянии j, затем проведем их через прибор, а после проделаем измерение, чтобы посмотреть, находятся ли они в состоянии c, то результат будет описываться амплитудой
Такой символ не имеет близкого аналога в векторной алгебре. (Он ближе к тензорной алгебре, но эта аналогия не так уж полезна.) Мы видели в гл. 3 [формула (3.32)], что (6.16) можно переписать так:
Это пример двукратного применения основного правила (6.9).
Мы обнаружили также, что если вслед за прибором А по ставить другой прибор 5, то можно написать
Это опять-таки следует прямо из предложенного Дираком метода записи уравнения (6,9). Вспомните, что между В и A всегда можно поставить черту (|), которая ведет себя совсем как множитель единица.
Кстати говоря, об уравнении (6.17) можно рассуждать и иначе. Предположим, что мы рассуждаем о частице, попадающей в прибор А в состоянии j и выходящей из него в состоянии y. Мы можем задать себе такой вопрос: можно ли найти такое состояние y, чтобы амплитуда перехода от y к c тождественно совпадала с амплитудой <c|A|j>?Ответ гласит да. Мы хотим, чтобы (6.17) заменилось уравнением
Конечно, этого можно достичь, если взять
что и определяет собой y. «Но оно не определяет собой y,— скажете вы,— оно определяет только <i|y>». Однако <i|y> все же определяет y; ведь если у вас есть все коэффициенты, связывающие y с базисными состояниями i, то y определяется однозначно. И действительно, можно поупражняться с нашими обозначениями и записать (6.20) в виде
А раз это уравнение справедливо при всех г, то можно просто писать
Теперь мы вправе сказать: «Состояние y — это то, что получается, если начать с j и пройти сквозь аппарат A».
Еще один, последний пример полезных уловок. Начинаем опять с (6.17). Раз это уравнение соблюдается при любых c и j, то их обоих можно сократить! Получаем
Что это значит? Только то, что получится, если вернуть на свои места j и c. В таком виде это уравнение «недокончено» и неполно. Если умножить его «справа» на |j>, то оно превращается в
а это снова то же уравнение (6.22). В самом деле, мы бы могли просто убрать из (6.22) все j и написать
Символ А — это не амплитуда и не вектор; это вещь особого рода, именуемая оператором. Он — нечто, что «оперирует» над состоянием, чтобы создать новое состояние; уравнение (6.25) говорит, что |y)> — это то, что получается, если А действует на |j>. Это уравнение тоже нужно считать недоконченным, открытым, пока слева оно не умножится на какое-то «брэ», скажем на <c|, и не обратится в
Оператор А, разумеется, полностью описывается тем, что за дается матрица амплитуд <i|A|j>;ее также пишут в виде Аij— через любую совокупность базисных векторов.
Все эти математические обозначения на самом деле ничего нового не вносят. Единственный резон, почему мы их ввели,— мы хотели показать, как пишутся обрывки уравнений, потому что во многих книжках вы встретите уравнения, написанные в неполном виде, и нет причин вам пугаться, увидев их. Если вы захотите, вы всегда сможете дописать те части, которых не хватает, и получить уравнение, связывающее числа. Оно будет выглядеть более привычно.
Кроме того, как вы увидите, обозначения «брэ» и «кет» очень удобны. Прежде всего мы теперь сможем указывать состояния, задавая их вектор состояния. Когда мы захотим вести речь о состоянии с определенным импульсом р, то скажем: «состояние
|р>». Или будем говорить о некотором произвольном состоянии |y>. Для единообразия мы всегда, говоря о состоянии, будем употреблять «кет» и писать |y>. (Конечно, этот выбор совершенно произволен; в равной мере мы могли бы остановиться и на «брэ» <y|.)
§ 3. Каковы базисные состояния мира?
Мы обнаружили, что всякое состояние в мире может быть представлено в виде суперпозиции (линейной комбинации с подходящими коэффициентами) базисных состояний. Вы вправе спросить, во-первых: каких именно базисных состояний? Что ж, возможностей здесь немало. Можно, например, взять проекцию спина на направление z или на некоторое другое направление. Имеется очень-очень много различных представлений— аналогов различных систем координат, которые можно применять для представления обычных векторов. Затем можно спросить: с какими коэффициентами их брать? А это уж зависит от физических обстоятельств. Различные совокупности коэффициентов отвечают разным физическим условиям. Здесь важно знать одну вещь — «пространство», в котором вы работаете, иными словами, знать, что эти базисные состояния означают физически. Так что первое, что вы, вообще говоря, должны знать,— это на что похожи базисные состояния. Тогда вам станет понятно, как описывать положение вещей на языке этих базисных состояний.
Мы хотели бы чуть-чуть заглянуть вперед и немножко поговорить о том, каким скорей всего окажется общее квантовомеханическое описание природы — во всяком случае, каким оно будет, судя по нынешним физическим представлениям. Первым делом надо решиться на тот или другой выбор представления базисных состояний (всегда ведь возможны различные представления). Например, для частицы со спином 1/2 можно использовать плюс- и минус-состояния относительно оси z. В оси z нет ничего особенного — можете выбрать любую ось, какую вам захочется. Но для единообразия мы всегда будем брать ось z. Начнем со случая одного электрона. Наряду с двумя возможностями для спина (вверх и вниз по оси z) электрон имеет еще импульс. Мы выбираем совокупность базисных состояний, по одному на каждое значение импульса. А что если у электрона нет определенного импульса? Ничего страшного: мы ведь говорим только, каковы базисные состояния. Если у электрона не будет определенного импульса, то у него какая-то амплитуда будет иметь один импульс, а какая-то — другой и т. д. А если он вертится не обязательно вверх спином, то у него есть какая-то амплитуда вертеться при этом импульсе спином вверх, а какая-то — вниз и т. д. Для полного описания электрона, насколько нам сейчас известно, требуется только, чтобы базисные состояния описывались импульсом и спином. Значит, одна из приемлемых совокупностей базисных состояний |i> для отдельного электрона указывает различные значения импульса и еще направление, куда смотрит спин,— вверх или вниз. Различные смеси амплитуд, т. е. различные сочетания чисел С, описывают различные обстоятельства. Что делает тот или иной электрон, описывается тем, что сообщается, с какой амплитудой у него спин может быть вверх, а с какой — вниз, и при этом импульс будет равен тому или иному числу, и так для всех мыслимых импульсов. Вы теперь видите, что требуется для полного квантовомеханического описания отдельного электрона.
