Анализ способа построения касательной к спирали в книге Архимеда «О спиралях»{22} говорит о том, что Архимеду также был известен закон сложения скоростей. Наконец, вся эллинистическая астрономия при описании движений небесных тел основывается на правилах сложения круговых движений.
Архимед — подлинный основатель теоретической статики и гидростатики.
Уже на самых первых этапах научной деятельности, по-видимому, механика интересовала Архимеда больше всего, причем переход к теоретическим обобщениям шел от чисто прикладных вопросов. Но и позже, помимо теоретических исследований в области математики, физики и механики, Архимед занимался вопросами прикладной механики, в частности в связи с потребностями обороны его родного города Сиракузы. Он обогатил античную технику большим количеством замечательных изобретений. Древние авторы приписывали Архимеду изобретение так называемой улитки — водяного винта, служившего для поливки полей в Египте (правильнее говорить в этом случае об его усовершенствовании). Рассказывают также, что при помощи механических приспособлений Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль сиракузского тирана Гиерона. Свидетельства древних расходятся в том, каковы были эти приспособления: одни говорят о рычаге, другие — о полиспасте, третьи — о зубчатых колесах, четвертые — о колесах, т. е. указывают почти все так называемые простые машины. Во время осады Сиракуз римлянами, по рассказу Плутарха (в биографии Марцелла), жители города применяли для обороны военные машины, сооруженные по указаниям Архимеда: орудия, метавшие снаряды, поворотные краны («клювы»), низвергающие огромные камни на вражеские корабли, привязанные к цепям железные лапы, которые захватывали нос корабля и ставили корабль вертикально на корму.
АРХИМЕД (ок. 287—212 до н. э.)
Древнегреческий математик и механик. Родился и большую часть жизни прожил в Сиракузах (Сицилия); был убит римлянами при взятии Сиракуз. Архимед установил законы рычага, открыл закон гидростатики, носящий его имя
Из сочинений Архимеда, посвященных механике, до нас дошли трактаты в двух книгах «О равновесии плоских фигур, или О центрах тяжести плоских фигур», трактат «О плавающих телах», также в двух книгах, и «Эфод, или Послание к Эратосфену о механических теоремах».
Первыми сочинениями Архимеда по механике были «Книга опор» и «О весах». Поскольку они до нас не дошли, об их содержании можно судить лишь по ссылкам в более поздних работах Герона и Паппа, а также по комментариям Евтокия и Симпликия{23}. Анализ упомянутых сочинений показывает, что во время их написания Архимед еще не знал, что вес тела можно считать сконцентрированным в его центре тяжести, хотя и пользовался последним понятием. Понятие о центре тяжести появилось у Архимеда в итоге практического изучения распределения груза между опорами. Рассматривая давление балки на опоры, Архимед приходит, правда, к неверным результатам, но отсюда он перешел к одноопорной балке — рычагу. Эти ранние работы интересны тем, что в них кроме понятия центра тяжести появляется и понятие центра момента. Папп приводит следующее определение Архимеда для центра тяжести: «Центром тяжести некоторого тела называется некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее (мысленно) подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение»{24}. Из комментария Евтокия известно определение центра момента. «Архимед называет центром момента плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; центром момента двух или более плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные фигуры»{25}.
Теория центра тяжести с точки зрения практической механики, возможно, была развита в дошедшей до нас в виде отдельных фрагментов книге «О рычагах»{26}. Математическое изложение теории центра тяжести, очевидно, впервые приведено также в не дошедшем до нас трактате «О равновесии», значительно большем по объему, чем «О равновесии плоских фигур».
В первой книге трактата «О равновесии плоских фигур» изложена теория равновесия рычага. Однако этот трактат имеет гораздо более важное значение: это основы общей теории равновесия, построенной на системе аксиом.
Исходя из действительных и простейших фактов опыта, Архимед сумел обобщить эмпирический материал техники и привести его с помощью математики в научную систему.
Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает очевидными:
«1. Равнее тяжести на равных длинах уравновешиваются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.
2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавлено, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.
3. Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.
4. При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.
5. У неравных же, но подобных фигур центры тяжести будут подобно же расположены.
6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновешиваться и равные им.
7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находиться внутри фигуры»{27}.
Заметим, что когда Архимед говорит о действии на рычаг подвешенных грузов (тяжестей), он основывается на свойствах центра тяжести, понятие которого считает известным; это также говорит в пользу предположения о том, что этот трактат был не первым его механические сочинением.
В частности, предполагается, что центр тяжести тела, свободно висящего на нити, располагается на линии нити и что подвешенные тела действуют на рычаг в точке подвеса весом, сосредоточенным в центре тяжести. В последующих доказательствах Архимед имеет дело лишь с весами тел и их центрами тяжести.
Далее Архимед доказывает семь теорем, первые три из которых разъясняют смысл сформулированных выше предпосылок. Так, теорема III гласит: «Неравные тяжести будут уравновешиваться на неравных длинах, причем большая тяжесть на меньшей длине»{28}.
В теореме IV определяется центр тяжести системы двух тел: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести будет середина прямой, соединяющей центры тяжести этих величин»{29}.
В теореме V Архимед применяет этот метод к системе трех тел, расположенных так, что центр тяжести среднего из них находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести крайних. Согласно этой теореме, центр тяжести такой «составной величины» совпадает с центром тяжести среднего тела.
Особо можно выделить теоремы VI и VII, в которых формулируется и доказывается основной закон рычага.
Теорема VI формулируется следующим образом: «Соизмеримые величины уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны их тяжестям»{30}.
В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. В теореме I второй книги трактата этот закон распространяется на случай криволинейных квадрируемых фигур.
Помимо указанных выше принципов Архимед пользуется в ходе доказательств еще одним, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешенный в точке А рычага, заменить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Это положение мы будем называть принципом замещения. Хотя в ходе доказательств принцип замещения Архимед применяет с достаточной отчетливостью, однако он оградил бы свое сочинение от упреков самых требовательных критиков, если бы поставил его в число своих исходных предпосылок.
Заметим также, что аксиомы Архимеда являются первым существенным шагом в развитии понятия момента силы. Архимед с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага. Оставалось лишь найти форму этой зависимости — и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.
«Вникнув в сущность архимедовых аксиом, — писал академик А.Н. Крылов, — мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно произведение силы на ее расстояние до точки опоры, — то, что было впоследствии названо моментом силы и что производит вращательное движение тела»{31}. Первая книга трактата «О равновесии плоских фигур» заканчивается определением центров тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции.
