Исследования излучения черного тела в Имперском физико-технологическом институте преследовали практическую цель — установить стандарт интенсивности освещения. В конце XIX — начале XX века существовало несколько стандартов для разных стран и разных видов ламп накаливания. Например, английская свеча представляла собой стандарт интенсивности света одной спермацетовой свечи весом 1/6 фунта, горящей со скоростью 120 гран в час.
Сила света черного тела
Экспериментальные данные и теоретические результаты Планка принесли свои плоды, и в 1948 году, с введением международной единицы — канделы (свечи), — произошел отказ от старых стандартов и переход к новым. Яркость излучения черного тела при температуре затвердевания платины равна 60 канделам на 1 см². Учитывая экспериментальные трудности, с которыми связано создание абсолютно черного тела, а также достижения оптики и радиометрии, в 1979 году появилось новое международное определение канделы: «Кандела — сила света в заданном направлении источника, испускающего монохроматическое излучение частотой 540-1012 Гц, энергетическая сила света которого в этом направлении составляет 1/683 ватт на стерадиан». На практике получается, что свет свечи примерно равен одной канделе, а лампочка на 40 Вт имеет силу света в несколько десятков кандел.
Вместе с Фердинандом Курльбаумом (1857-1927), который также работал в институте и был учеником Гельмгольца, Люммер в 1892 году разработал усовершенствованный вариант болометра. Этот инструмент концептуально идентичен фотометрическому кубику, но измеряет он интенсивность электромагнитного излучения, независимо от того, является это излучение видимым или нет.
Также в 1895 году Люммер и Вин опубликовали совместную статью, в которой анализировали возможные методы создания абсолютно черного тела. До сих пор физики-экспериментаторы пытались использовать различные зачерненные поверхности, но было очевидно, что их излучение не идентично излучению черного тела, то есть не является одинаковым на всех частотах. Вин и Люммер пришли к выводу, что наилучшая модель черного тела — полость с отверстием. Сам Люммер был удивлен, что эту идею до сих пор никто экспериментально не исследовал, хотя она была предложена Кирхгофом почти 40 лет назад (а чуть позже — и Больцманом).
Первыми вариантами полости с отверстием были фарфоровые сферы с отверстием, внутренняя поверхность которых была зачернена сажей. Сфера погружалась в жидкость с контролируемой температурой. Таким образом были проведены исследования температур от -188 до 1200 градусов Цельсия.
В 1898 году Люммер и Фердинанд Курльбаум разработали и создали черное тело с подведенными электрическими контактами. Электропитание до 100 А позволяло достичь температуры 1500 °С. Используя эту полость и болометр, Люммер и Эрнст Прингсгейм (1859-1917) обнаружили первые отклонения от экспоненциального закона Вина, возникающие в длинноволновой и инфракрасной областях.
Летом 1900 года Курльбаум и Генрих Рубенс (1865-1922), профессор физики Технического университета Берлина, провели более точные измерения спектрального распределения и получили результаты, которые расходились с распределением, предсказанным Вином.
Результаты Рубенса и Курльбаума по интенсивности излучения черного тела до длины волны 51,2 мкм в зависимости от температуры соответствовали закону Рэлея. Закон Вина при этом не выполнялся.
В воскресенье 7 октября 1900 года Рубенс с женой пришли в гости к Планку, и Рубенс рассказал коллеге о своих успехах. Для длинноволновой области закон Вина не выполнялся, но с другой стороны, измерения соответствовали закону, предложенному Рэлеем, о котором мы будем говорить в следующей главе. Когда Рубенсы ушли, Планк направился в свой кабинет. Возможно, именно в тот вечер он открыл закон, подаривший ему мировую славу. Планк не выводил его из первого и второго начал термодинамики, а добавил еще одну производную в выражение, открытое ранее для энтропии системы осцилляторов.
На следующий день Планк отправил Рубенсу открытку с новой формулой:
uv = C ∙ V³/(eav/T - 1).
Через несколько дней Рубенс зашел к Планку и сообщил, что его формула полностью соответствует экспериментальным данным.
Только формальное предположение: ε = hv
Планк немедленно принялся за теоретическое обоснование нового закона. Через два месяца напряженной работы, 14 декабря 1900 года, на заседании Немецкого физического общества был представлен его доклад. Этот день многие считают датой рождения квантовой физики. В докладе Планк сообщил, что обнаружил два альтернативных, хотя и схожих доказательства закона. В обоих вариантах использовалась квантовая гипотеза.
Мы изложим фундаментальные идеи одного из следствий закона Планка об излучении черного тела, которое было опубликовано в Annalen der Physik («Анналы физики») в 1901 году. Отправной точкой является отношение между энергией осциллятора Uv и плотностью энергии электромагнитного поля uv, с которой она находится в равновесии:
uv = 8πv²/c³ ∙ Uv
Теперь необходимо найти энергию Uv осциллятора как функцию частоты и температуры. Для этого Планк воспользовался вероятностной интерпретацией энтропии, предложенной Больцманом, а именно уравнением, связывающим энтропию 5 системы с вероятностью Ω:
S = k ln Ω.
Для расчета Ω необходимо знать, сколько возможных конфигураций имеет система при общей энергии всех осцилляторов. Для того чтобы узнать количество конфигураций, Планк воспользовался предположением, что энергия разделяется на дискретные элементы величиной ε. Чтобы исполнялся закон смещения Вина, Планк был вынужден уточнить, что эти элементы энергии, как он их назвал, должны быть пропорциональны частоте п согласно формуле:
ε = hv.
Эти дискретные элементы позже получили название квантов, а представленное выше выражение было названо квантовой гипотезой. Обозначение h — константа, равная 6,62606957(29) · 10~34Дж/Гц, сейчас называется постоянной Планка.
Второе начало термодинамики позволяет использовать энтропию для расчета соотношения между энергией и температурой. После ряда преобразований Планк получил:
uv = 8πh/c³ ∙ v³/hv/kT.
Это та же формула, которую Планк предложил в октябре, но ее новый вид позволяет получить точные выражения для двух констант, С и а, появляющихся в законе. Их величина — С = 8πh/c³ и а = h/k — связывает эти две константы с другими постоянными, такими как скорость света с и постоянная Больцмана k. Весьма важно появление последней константы, взятой из определения энтропии. В последней главе мы рассмотрим некоторые важнейшие следствия отношений между разными постоянными.
Еще раз рассмотрим концептуальные элементы доказательства Планка.
— Электродинамика позволяет сформулировать отношение между механической энергией осциллятора и электромагнитным полем, с которым энергия находится в равновесии. Это отношение строится на предположении, что осциллятор поглощает столько же энергии, сколько излучает. Как можно было ожидать, отношение не зависит от физических характеристик осциллятора, таких как заряд или масса, но связано с частотой и универсальной константой — скоростью света. Это соответствует закону Кирхгофа, согласно которому спектральное распределение излучения не может зависеть от физических характеристик вещества, из которого изготовлены стенки полости.
— Второе начало термодинамики позволяет получить соотношение между внутренней энергией и температурой из выражения энтропии.
— Наконец, вероятностная интерпретация энтропии Больцмана позволяет рассчитать энтропию системы осцилляторов.
Математический вывод закона Планка
Для расчета энтропии взаимодействующих осцилляторов определенной частоты S = klnΩ необходимо рассчитать количество возможных конфигураций Ω. Это количество зависит от всех доступных способов распределения элементов энергии Р величиной ε между количеством осцилляторов, равным Ν. Обозначим элементы энергии кружками, границы элементов, соответствующих одному осциллятору, — крестиками. Любую конфигурацию можно записать в следующем виде.
Этот пример означает, что у первого осциллятора имеется три элемента энергии, у второго — один, у третьего — три, у четвертого — два и так далее. Возможное количество конфигураций нам дает комбинаторика, согласно которой:
Ω = (N + Р-1)!/Р!(N-1)!.
В цепочке у нас есть N + Р - 1 символов. Факториал в числителе означает все возможные комбинации крестиков и кружков. Факториалы в знаменателе показывают, что порядок, в котором идут кружки и крестики, не имеет значения, так как осцилляторы и элементы энергии неразличимы. Планк прибегнул к известному приближению, формуле Стирлинга, по которой Inn! = nlnn - n. И так как N и Р значительно больше единицы, получается:
