В статье, которая вскоре сделает его знаменитым, Гейзенберг прислушался к словам из «Логико-философского трактата» Людвига Витгенштейна, опубликованного четырьмя годами ранее: «О чем невозможно говорить, о том следует молчать». Он применил этот совет, исследуя мир атомов: «О том, что невозможно измерить, следует умолчать». Объясняя феномены, ученые должны были воздержаться от введения элементов, которые невозможно измерить в лаборатории. Добавление любого элемента ради того, чтобы облегчить понимание, могло завести науку в тупик. Так Гейзенберг положил начало физике для канатоходцев. Прежде всего необходимо придерживаться математических правил. Тот, кто видел дальше других благодаря своему воображению, заканчивал тем, что спотыкался. Исходя из этого было несложно предвидеть результат: не следует применять интуитивное понимание к теории, которую невозможно увидеть. Статья Гейзенберга под названием «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений» появилась летом 1925 года — за шесть месяцев до волновой механики Шрёдингера.
Австрийский физик получает Нобелевскую премию из рук короля Швеции Густава V в 1933 году.
Шрёдингер в период своего пребывания в колледже св. Магдалины в Оксфорде (около 1934 года), где он активно участвовал в споре относительно интерпретации квантовой теории.
Эрвин Шрёдингер на конференции, около 1950 года.
Если Шрёдингера охватывало творческое вдохновение, когда он находился на курорте в компании таинственной дамы, то Гейзенбергу меньше повезло с романтическими обстоятельствами: к нему пришло озарение, когда он в полном одиночестве находился на острове Гельголанд в Северном море, в 70 километрах от суши — остров был почти полностью лишен растительности, и ученый здесь надеялся спастись от жестокого приступа сезонной аллергии. «По прибытии на остров я, должно быть, находился в жалком состоянии, — вспоминает он. — Из-за моего опухшего лица дама, которая сдавала мне комнату, заподозрила, что я подрался накануне вечером, и прочитала мне наставления».
Гейзенберг на острове много купался и гулял в дюнах, но также оставлял время для размышлений. Ученый поставил перед собой сложную задачу — «создать теоретическую базу для квантовой механики, которая основывается исключительно на отношениях между величинами в принципе наблюдаемыми». Он откинул несколько заметок, например об орбитах Бора, в которых было написано, что представлениям об орбитах электронов мы обязаны воображению, поскольку до сих пор никто не смог их зарегистрировать с помощью экспериментов и приборов. Гейзенберг решил опираться в поисках математической закономерности только на наблюдаемые величины.
В случае спектров это частоты и интенсивности, и ни к чему бессмысленное отслеживание положения и скоростей электронов. Гейзенберг разработал систему, в которой наблюдаемые объекты были единственным материалом для построения модели. Главная забота ученого состояла в том, чтобы дать наблюдаемому объекту концептуальную основу, свободную от противоречий: «Особенно меня терзали сомнения относительно того, будет ли выполняться закон сохранения энергии. Я знал, что если энергия не сохранится, значит, концепция неверна».
Принципиальные измеримые показатели, относящиеся к динамике частицы (заряд, частота или энергия), характеризовали ее переход между начальным и конечным состоянием, которое ученый представил совокупностью характеристик пит. Затем он подключил к переходам вероятности и выявил правила, их регулирующие. Гейзенберг доказал мастерство, воплощая свои физические предположения с помощью математических моделей, которые он не знал и с которыми импровизировал.
И тут ученый наткнулся на «существенную сложность». В своих расчетах, умножая заряд одной частицы на ее энергию, он получал разные результаты, когда менял местами множитель и множимое. И даже несмотря на это расчеты не приводили к несогласованности. Когда Гейзенберг увидел, что закон сохранения энергии соблюдается, его охватило сильнейшее волнение:
«В первый момент я до глубины души испугался. У меня было ощущение, что я гляжу сквозь поверхность атомных явлений на лежащее глубоко под нею основание поразительной внутренней красоты, и у меня кружилась голова от мысли, что я могу теперь проследить всю полноту математических структур, которые там, в глубине, развернула передо мной природа. Я был так взволнован, что не мог и думать о сне. Тогда я вышел из дома и направился к южной стороне острова. Там я заметил огромную скалу в виде башни, она возвышалась над морем, и я захотел взобраться на нее. Уже на вершине я дождался восхода солнца».
После возвращения с Гельголанда Гейзенберг провел три недели, расшифровывая свои сделанные на скорую руку записи. Не вполне доверяя себе, молодой ученый решил отдать рукопись Максу Борну, чтобы узнать его мнение, а сам в это время отправился на конференции в Лейден и Кэмбридж. За время его отсутствия Борн прочитал статью. Это чтение «воодушевило его так, словно после кругосветного плавания он наконец-то увидел долгожданную землю». К счастью для Гейзенберга, любопытство Борна толкало его присутствовать на множестве лекций, которые читались в Бреслау: астрономия, логика, химия, философия, зоология и... высшая алгебра. Борн увидел в правилах Гейзенберга скрытую структуру, знакомую математикам, — матрицы.
Уж если Макс Борн, который мог похвастаться солидными знаниями математики, должен был перерыть закрома своей памяти, чтобы вспомнить прошлые занятия по алгебре, можно представить эффект, произведенный статьей Гейзенберга на большинство физиков, которые все эти матрицы попросту игнорировали. Математика была абстрактной наукой и на взгляд новичка таила в себе что-то недосказанное, секретное. Даже для последующих физиков, привычных к языку матриц, расчеты Гейзенберга казались неявными, да они и не приводились полностью в статье «О квантовотеоретическом истолковании кинематических и механических соотношений». Стивен Вайнберг, лауреат Нобелевской премии по физике 1979 года, видел в матрицах нечто магическое: «Если то, что сделал Гейзенберг, озадачивает читателя, то вы, читатель, не одиноки. Несколько раз я пытался прочесть статью, написанную Гейзенбергом по возвращении с Гельголанда, и хотя, как мне кажется, я понимаю квантовую механику, мне никогда не удавалось уловить те мотивы, которые побудили Гейзенберга к математическим действиям в его работе».
Борн провел лето 1925 года вместе со своим ассистентом, математиком Паскуалем Иорданом, шлифуя идеи Гейзенберга, используя матрицы. В этой работе участвовал и сам Гейзенберг, сначала с помощью писем, затем — лично, когда вернулся с каникул. Наконец, эти трое опубликовали совместную статью, в которой изложили официальную версию матричной механики. Физикам эта работа известна под названием Dreimannerarbeit («Произведение трех мужчин»). И подход авторов был так же необычен, как и сам мир атомов.
Матрицы — это особые математические объекты, которые могут быть представлены в виде таблицы, состоящей из строк и столбцов, с произвольным числом в каждой клетке.
5 -1 52 7/3 8 -21 0 -19/7 1
Обычно их пишут в скобках и без клеток:
5 -1 52
7/3 8 -21
0 -19/7 1
С матрицами можно производить различные операции (сложение, вычитание, умножение или деление), которые дают новые матрицы в соответствии с особыми математическими правилами.
Одним из их основных свойств является некоммутативность матричного произведения: А • В =/= В • А. Это означает, что хорошо известный принцип, согласно которому «порядок множителей не влияет на произведение», не выполняется. Чтобы привести более наглядный пример некоммутативности какой-либо операции, рассмотрим вращения в пространстве. Повороты математически могут быть представлены как произведение матриц. Пусть М и S — это две точки на сфере; если мы осуществляем два последовательных оборота вокруг осей, которые проходят через них, результат будет зависеть от направления (см. рисунок).
Объясняя таинственные правила Гейзенберга при помощи старых алгебраических методов, Борн и Йордан сформулировали одно из самых важных уравнений всей квантовой механики:
где Р и Q являются матрицами, представляющими количество движений (Р) и расположение (Q, i — корень от -1, a h — постоянная Планка. I — это единичная матрица, которая играет такую же роль в алгебре матриц, что и число 1 в арифметике.
