падает деятельность Парменида и Зенона. Известно, что Демокриту принадлежала книга Περί άλογων γραμμών και ναστών (D.L. ΙΧ,47), следовательно, несоизмеримые отрезки были уже открыты. Гиппократ Хиосский (ок. 440 г.) занимался проблемой удвоения куба, которой должна была предшествовать соответствующая проблема в планиметрии — удвоение квадрата, тесно связанная с открытием несоизмеримости. Из фрагмента Гиппократа о квадратуре луночек (Eud. fr. 140) можно заключить, что он знал немалую часть положений I—IV книг Евклида. [549] Ясно также, что они были доказаны еще до него, ибо строгость доказательств самого Гиппократа была оправдана только в том случае, если положения, на которые он опирался, имели ту же логическую форму и завершенность, что и его собственные. Гиппократу же Евдем приписывает первые «Начала» (fr. 133), в которых известные в то время теоремы и проблемы были, по всей вероятности, сведены воедино и выстроены в логической последовательности. Все это демонстрирует такую зрелость тогдашней математики, которую нельзя объяснить, полагая, что дедуктивный метод проник в нее из философии только в конце первой половины V в.
Согласно убедительной реконструкции ван дер Вардена, «Началам» Гиппократа предшествовал пифагорейский учебник математики, содержавший основу первых четырех книг Евклида. [550] Таким образом, мы вплотную подходим к пифагорейской математике начала V в., откуда Парменид и Зенон могли почерпнуть идею дедуктивного доказательства — ведь согласно традиции, учителем Парменида был пифагореец Аминий (28 А 1). Все это позволяет нам с полным основанием присоединиться к выводу, сделанному еще Т. Гомперцем: «Система Парменида обязана своей формой математике Пифагора». [551]
В истории науки можно найти множество примеров того, как одна научная отрасль заимствует методы, оказавшиеся успешными в других областях знания. Но никто не будет перенимать метод, если его применение не дало ощутимых результатов на материале той области, где он возник. Между тем дедуктивное доказательство в философии элеатов, да и вообще в философии, отнюдь не обладает такой логической убедительностью и неопровержимостью, как в математике. [552] Ни Пармениду, ни Зенону не удалось, собственно, ничего доказать, они лишь пытались это сделать. Уже их младшие современники атомисты отвергают идею о том, что небытия (т. е. пустоты — κενόν) нет: их космос состоит именно из пустоты и движущихся в ней атомов. Не имели успеха, да и не могли иметь, и попытки Зенона опровергнуть возможность движения и множественности, хотя поднятые им проблемы во многом стимулировали развитие философии. Влияние элеатов на последующих философов объясняется глубиной и смелостью их мысли, а не дедуктивными построениями. Разве не были восприняты некоторые идеи Гераклита, стиль рассуждений которого очень далек от доказательности? Словом, после сравнения весьма скромных успехов дедуктивного метода в философии с тем, что он дал математике, вопрос «у кого он был заимствован?» кажется риторическим. [553]
Не более убедительна и гипотеза, связывающая зарождение дедуктивного доказательства с красноречием, политическим или судебным. Дело даже не в том, что начало риторики принято относить ко второй трети V в., а свое полное развитие она получила еще позже, — в конце концов, греки могли аргументированно излагать свои взгляды и во времена Фалеса. Но там, где речь идет о жизненных интересах, логические аргументы не могут иметь решающей силы — а именно с этой ситуацией мы сталкиваемся в народном собрании и в суде. [554] В то время как греческая математика отталкивалась в своих доказательствах от вещей очевидных и всеми признаваемых истинными, для политической и судебной аргументации такой общей основы нет. Хорошо известно, что в Афинах один и тот же человек часто писал убедительные речи pro и contra, а обвиняемые в тяжких преступлениях приводили в суд жену и детей, больше надеясь смягчить судей их несчастным видом и плачем, чем своими аргументами. Трудно представить себе, чтобы в этой атмосфере могло зародиться стремление строго следовать фактам и ни в чем не грешить против логики.
Итак, едва ли можно сомневаться в том, что математика не заимствовала дедуктивное доказательство у философии или риторики, — оно зародилось в ней самой. В то же время дедуктивный метод, в отличие от просто логических рассуждений, не является чем-то внутренне присущим обращению с числами и фигурами: на Древнем Востоке (включая Индию и Китай) математика развивалась без него. Следовательно, пытаясь ответить на вопрос, почему Фалес стал искать дедуктивное доказательство простых математических фактов, мы вынуждены будем обратиться к причинам, внешним по отношению к математике.
Наиболее убедительный ответ на этот вопрос предлагает, на наш взгляд, концепция греческого культурного переворота, развитая Зайцевым. Одно из ее центральных положений состоит в том, что в Греции VIII-V вв. в силу специфических исторических условий впервые в истории человечества получили общественное одобрение все формы творчества, все виды продуктивной духовной деятельности, в том числе и лишенные непосредственного утилитарного значения. [555] Только в такой атмосфере Фалес, влиятельный и богатый человек, мог, не будучи профессионалом (какими были египетские и вавилонские писцы), взяться за доказательство того, что диаметр делит круг пополам. Более того, он не просто взялся, а приобрел на этом поприще общественное признание: традиция сохранила его славу как математика и донесла до нас суть теорем, которыми он занимался. Значит, общественная и культурная атмосфера той эпохи поощряла авторов даже таких открытий, которые не имели практической ценности, — тем самым создавались мощные стимулы для новых поисков в этой области.
Вторым важным фактором культурного переворота был особый тип соревновательности, присущий тогдашнему греческому обществу, а именно такой, в котором главной признавалась победа, дававшая славу, а не связанные с нею материальные блага — их зачастую могло и не быть. Этот дух чистого соперничества зародился в греческой агонистике, а затем распространился и на сферы интеллектуального творчества — сначала на литературу, вслед за ней на философию и науку, удесятеряя силы тех, кто стремился к истине.
Став на путь свободного исследования, не стесненного узким практицизмом и корпоративным духом, математики очень быстро убедились в том, что лишь применение строгого логического доказательства позволяет добиться на этом поприще неопровержимых и, следовательно, общепризнанных результатов, — а только последние и могли принести славу. Эмпирический, вычислительный метод, доступный грекам в то время, не обладал такой убедительной силой и не мог дать столь интересных результатов, следовательно, он был ненадежным средством в достижении успеха. Сколько бы ни измерял Фалес углы при основании равнобедренного треугольника, всегда оставалась возможность возразить, что один из них больше или меньше другого. Иное дело — дедуктивное доказательство: любой скептик мог самостоятельно пройти по всем его этапам и убедиться в его неопровержимости. История
