круг пополам? Этот элементарный факт эмпирически доступен любому ребенку, который делит на две части лепешку или круглый кусок сыра. В равенстве накрест лежащих углов легко удостовериться способом наложения, так же как и в равенстве углов в равнобедренном треугольнике. Как отмечал фон Фриц, теоремы, приписываемые Фалесу, «либо прямо связаны с проблемой симметрии, либо такого рода, что первый шаг доказательства явно основан на соображении симметрии, а второй, который приводит доказательство к выводу, является простым сложением или вычитанием». [522]
Итак, мы видим, что греки отнюдь не утруждали себя поисками материала для доказательств, более того — они начали с доказательства таких вещей, которые до них никому и в голову не приходило доказывать. [523] Ведь египетские геометры тоже знали на практике тот факт, что диаметр делит круг пополам, но они не испытывали ни малейшей потребности в его строгом доказательстве. «Действительно оригинальной и революционизирующей идеей греческой геометрии было стремление найти доказательство 'очевидных' математических фактов». [524] В этом, собственно, и заключался переход от практической и вычислительной математики к теоретической науке.
Четыре теоремы Фалеса, связанные с углами и треугольниками, никак не могут соотноситься с египетской математикой еще и потому, что египтяне никогда не занимались сравнением углов по величине и подобием треугольников. Ни в египетской, ни в вавилонской математике вообще не было понятия угла как измеряемой величины. [525] По определению Гэндза, геометрия египтян была «линейной», в отличие от «угловой» геометрии греков, в которой углы впервые стали объектом измерения. [526] Гэндз полагал, что заслуга введения «угловой» геометрии принадлежит Фалесу и его школе и справедливо видел в этом начало математической теории.
Помимо крайней ненадежности сведений о путешествии Пифагора в Египет характер его математических занятий также не дает оснований видеть в них результат заимствования. Пожалуй, единственное, что могло хотя бы в какой-то степени соотноситься с египетской математикой, — это теорема Пифагора. Во всяком случае, неоднократно высказывалось предположение, что египтянам была известна если не сама теорема, то, по крайней мере, тот факт, что треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный. Свойства этого треугольника были известны не только в Вавилоне, но и в Индии, и в Китае, т. е. везде, где существовала сколько-нибудь развитая математическая культура. Но как раз в египетской математике ничто не указывает на знакомство с этим или каким-либо иным частным случаем теоремы Пифагора. [527]
По поводу сообщения Демокрита можно предположить, что во время поездки в Египет он в самом деле пытался доказывать гарпе-донаптам какие-то теоремы, действуя через местных переводчиков, знавших греческий. Означает ли это, что и они, в свою очередь, доказывали ему теоремы? Сам термин гарпедонапты (землемеры) указывает на сугубо практический характер занятий, для которых доказательство теорем было вещью явно бесполезной. [528] Едва ли можно сомневаться в том, что эта попытка установления прямых «научных контактов» окончилась безрезультатно для той и другой стороны.
Если в подтверждение тезиса о египетском влиянии можно привести как данные античной традиции, так и факты реальных контактов, пусть даже и крайне незначительные, то в случае с Вавилоном мы не располагаем даже этим. В греческой литературе VI-IV вв. нет ни одного упоминания о вавилонской математике, трудно даже сказать, знали ли о ней вообще. Из области элементарной математики и техники вычислений того времени невозможно привести ни одного надежного факта вавилонского влияния. [529] Наконец, никто из авторов этой эпохи не упоминает о поездке Фалеса или Пифагора в Вавилон. [530] Чтобы в такой ситуации говорить о «восточной первооснове» греческой математики, нужно располагать вескими доводами, в то время как сам Нейгебауер признает, что его точка зрения — лишь гипотеза, не подтвержденная никакими документальными свидетельствами. [531] Справедливость этой оценки хорошо видна на примере «геометрической алгебры».
Исследуя II книгу Евклида, трактующую так называемое приложение площадей, [532] математики еще в XVIII в. обнаружили, что ее предложения могут быть переформулированы алгебраически, в виде тождеств и квадратных уравнений. Например, предложение 11,2 можно рассматривать как тождество (а + b)с = ас + bc, а приложение площади с недостатком означает построение на данном отрезке а такого прямоугольника ах, что при отнятии от него квадрата х2 получается данный квадрат b2 (в алгебраической интерпретации ах - x2 = b2). Со времени Цейтена теоремы II книги и сходные с ними предложения VI книги принято называть «геометрической алгеброй» и видеть в ней геометрическую переформулировку алгебраических проблем. [533]
Содержание теории приложения площадей действительно совпадает с основными типами квадратных уравнений, которые вавилоняне умели решать еще во II тыс. до н.э. Однако математическая близость обоих методов может быть объяснена как генетическим родством, так и типологическим сходством. Какой путь предпочтительнее? В первом случае необходимо доказать, что: 1) теоремы II книги были переведены с алгебраического языка на геометрический, а не что их можно переформулировать; 2) Пифагор или какой-то другой математик VI-V вв. действительно побывал в Вавилоне и обучился местной математике; 3) в то время реально имелась возможность перевода вавилонских методов на язык геометрии.
Доказательство каждого из этих пунктов наталкивается на очень серьезные трудности. Все больше историков математики склоняется к тому, что приложение площадей вовсе не было переформулировкой алгебраических методов, а возникло на греческой почве в ходе решения чисто геометрических проблем. [534] Вавилонские решения сложны, требуют специального интереса и специальной же подготовки и потому едва ли могли проникнуть в Грецию, передаваясь из рук в руки (как это было, вероятно, с данными, позволившими Фалесу «предсказать» дату солнечного затмения). О греческом математике, устроившемся в обучение к вавилонскому «коллеге», говорить всерьез не приходится. Помимо всего прочего, у нас нет данных о том, чтобы подобный тип математики практиковался в Вавилоне в VI в.: все наличные тексты относятся к старовавилонскому периоду. [535] Наконец, можно ли предположить, что за две с лишним тысячи лет до того, как Декарт создал аналитическую геометрию, нашелся человек, сумевший перевести вавилонские задачи на язык геометрических теорем? [536]
В самой гипотезе о заимствовании численных решений квадратных уравнений едва ли есть какая-то необходимость: в древнекитайской математике, например, имеются задачи, очень похожие на теоремы II книги Евклида, но возникли они, по всей видимости, без всякого внешнего влияния. [537] То же самое справедливо и в отношении метода расчета «пифагоровых троек» — численного значения сторон в прямоугольном треугольнике, в котором также видят результат вавилонского влияния. Между тем найденный Пифагором метод органически связан с его исследованиями
