содержат прямые ссылки на авторов IV в., там, где речь идет о конкретных научных открытиях Пифагора и его учеников, этот материал, как правило, согласуется с уже разобранным выше, дополняя его в ряде случаев многими важными деталями.
Порой мы сталкиваемся здесь с преувеличениями и путаницей (вполне, впрочем, естественными, если учитывать временные масштабы и способы передачи информации), однако здоровое ядро этой традиции восходит к IV в. Хотя нам никогда не удастся возвести каждое конкретное свидетельство к одному из писателей классической эпохи, очевидно, что поздние комментаторы не могли знать ничего, что не было бы уже известно Аристотелю и его ученикам.
2.1 Греческая математика и Восток
Пифагорейская математика, при всей малочисленности дошедшего материала, занимает столь значительное место в истории античной науки, что вот уже два века служит предметом непрекращающихся споров. Помимо уже упоминавшихся особенностей пифагорейского вопроса, это объясняется еще и тем, что здесь оказываются затронутыми две более общие проблемы: во-первых, возникновение в Греции теоретической математики, во-вторых, влияние на нее восточной традиции. Обе эти проблемы выходят далеко за рамки данной работы, и мы не ставим перед собой задачу их сколько-нибудь подробного анализа. [498] Но случилось так, что фигура Пифагора, которому античная традиция приписывает, с одной стороны, решающий вклад в становление теоретической математики, а с другой — заимствование математических знаний у египтян, вавилонян и даже финикийцев, оказывается в центре пересечения этих двух проблем. Без учета как современной исследовательской ситуации, так и того исторического фона, на котором развивалась пифагорейская математика, мы едва ли сможем серьезно продвинуться вперед в ее понимании, хотя в ходе этого рассмотрения речь зачастую пойдет о вещах, с ней прямо не связанных.
* * *
Традиционно историю математики начинали с VI-V вв., т. е. с возникновения в Греции нового типа математических изысканий, составивших в дальнейшем сущность математики как теоретической науки. Исследования последних ста лет пролили свет на долгую предысторию математики, представленную культурами Древнего Востока, прежде всего — Шумера, Египта и Вавилона, затем — Индии и Китая. В этих культурах было сделано множество важных открытий, позволявших решать весьма сложные задачи в области строительства, землемерия, составления календаря, распределения и учета рабочей силы и продуктов и т.п. Но сопоставление с математикой Древней Греции отчетливо показывает сугубо эмпирический и вычислительный характер восточной математики. Наиболее развитая ее ветвь, вавилонская, выросшая, как и все прочие, из практической сферы, в ходе своего развития дошла до решения задач, далеко выходящих за пределы жизненных потребностей. В писцовых школах Вавилона решались квадратные уравнения, которые, хотя и были сформулированы в численном виде и носили характер хозяйственных задач, для практических нужд были явно бесполезны. И все же вавилонская математика (равно как и астрономия) оставалась вычислительной, а не теоретической: «В подавляющем большинстве случаев конечная цель исследования заключалась в составлении школьной задачи и указании способов ее решения». [499]
Коренное отличие греческой математики от самых сложных восточных вычислений состоит в том, что в ней впервые появляются постановка проблем в общем виде и дедуктивное доказательство — качества, позволяющие отделить математическую науку от занятий числами вообще, начинающихся с первых систем устного счета, т. е. действительно с доистории. Без учета этого отличия, на которое неоднократно указывали ведущие специалисты, [500] историю математики действительно пришлось бы начинать с истории устного счета, ибо критерий, отделяющий науку от донауки, был бы утрачен. Хотя этот критерий, как и многие другие, в какой-то степени условен, он представляется нам важным и плодотворным. Обращаясь к проблеме контактов с Востоком, следует помнить о том, что в греческой математике возник комплекс новых качеств, которых на Востоке не было. В сущности, называя греческую геометрию и восточные вычисления одним и тем же словом «математика», мы имеем в виду разные вещи.
История этой проблемы показывает, что Восток нередко рассматривался едва ли не как родина греческой математики. Объясняется это, вероятно, не только свидетельствами античных авторов о восточных заимствованиях в математике, но и отсутствием письменных источников, касающихся греческой практической и вычислительной математики VIII—VI вв., т. е. того фона, на котором возникли первые теоретические изыскания Фалеса и Пифагора. До нас не дошли ни хозяйственные тексты этой эпохи, ни учебные задачи, которые в таком изобилии находят на египетских папирусах и вавилонских табличках, и об уровне практической математики греков можно судить лишь косвенно, по остаткам архитектурных памятников и инженерных сооружений. [501] Открытия Фалеса и Пифагора казались многим возникшими едва ли не на пустом месте — отсюда естественное стремление видеть в них результаты заимствования. Неясность причин зарождения теоретической математики и удивительная быстрота, с которой она сформировалась, заставляли обращаться к древним культурам Востока, способным, как казалось, объяснить этот удивительный феномен.
Сами греки, как уже отмечалось, были склонны приписывать восточное происхождение многим областям своей культуры, в том числе и математике. [502] Авторы V-IV вв. единодушно называют родиной геометрии Египет. Так, Геродот говорит, что геометрию создали египтяне, движимые практическими нуждами землемерия и администрирования (11,109). Евдем Родосский, автор первой истории геометрии, также считал, что именно практические потребности привели к возникновению геометрии у египтян и арифметики у финикийцев (fr. 133). По его словам, Фалес, побывав в Египте, первым принес геометрию в Грецию, а Пифагор впервые превратил ее в теоретическую науку. Аристотель, напротив, полагал, что и теоретическая математика возникла в Египте, среди жрецов, имевших достаточно времени для занятий проблемами, не связанными с жизненными нуждами (Met. 981 b 23). Особый интерес представляет фрагмент Демокрита (fr. 14 Luria), в котором он утверждает, что никто не превзошел его в построении линий с доказательствами, даже египетские гарпедонапты («натягиватели веревок» — т. е. землемеры). По-видимому, престиж египетской геометрии был действительно высок, если талантливый математик Демокрит ставил себе в заслугу победу в соревновании с египетскими землемерами.
Вполне естественно, что и в XIX в. родиной почти всех математических достижений греков до Евклида продолжали считать Египет — страну, чье культурное наследие привлекало к себе все возрастающий интерес. [503] Немецкая школа истории математики следовала в основном этим положениям, [504] которые окончательно были сформулированы в капитальном труде М. Кантора: египтяне знали почти все теоремы, традиционно приписываемые Фалесу и Пифагору; различие между египетской и греческой математикой состоит лишь в методе — индуктивном у первой и дедуктивном у второй. [505] Издание в 70-х гг. XIX в. математического папируса Ринда, показавшего очень примитивный характер египетской геометрии, и критика
