немногих представителей ранней школы, которому псевдопифагорейская традиция не приписывала никаких сочинений, кроме некоего Μυστικός λόγος, направленного против Пифагора (D.L. VIII,7).
Зарождению легенд о выдаче им секретов и изгнании из общества (гибели в море) способствовало, вероятно, то обстоятельство, что термин αρρετος значил одновременно «иррациональный, не выразимый в числах» и «священный, тайный». [610] Такое объяснение содержится в источнике, который использовал Папп, [611] и оно кажется вполне разумным. [612] В его авторе резонней видеть Евдема, чем кого-либо из поздних авторов, для которых легенды давно уже стали частью пифагорейской истории. Во всяком случае, употребление термина αρρετος по отношению к иррациональным величинам относится к первой половине V в.; у Феодора появляется термин ασύμμετρος, а начиная с Теэтета постоянным terminus technicus становится άλογος. [613] Этот факт также может указывать на раннее происхождение легенды о разглашении секрета иррациональности. [614]
Поскольку традиция связывает с Феодором доказательства иррациональности величин, лежащих между √3 и √17 открытие Гиппаса традиционно относят лишь к √2. Классическое доказательство иррациональности √2, т. е. несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной, дается в приложении к X книге Евклида. Оно опирается на учение о четном и нечетном и ведется методом reductio ad absurdum. [615] Обе эти детали указывают на его пифагорейское происхождение, но данное доказательство слишком сложное, чтобы быть первоначальным. [616] Фон Фриц, например, считал, что Гиппас открыл иррациональность, исследуя свойства правильного пятиугольника, диагональ которого также несоизмерима с его стороной. Попытки найти для них общую меру ведут к построению все новых пятиугольников, что наглядно демонстрирует бесконечность самой процедуры. [617] Однако доевклидова традиция связывает открытие иррациональности со стороной квадрата, а не пятиугольника (Pl. Tht. 147d; Parm. 140b-c; Arist. Met. 1053 а 14 f). Поэтому более предпочтительными кажутся реконструкции, основанные на отношении диагонали и стороны квадрата. [618] Одна из них, предложенная Кнорром, [619] выглядит следующим образом.
Дан квадрат ABCD. Из чертежа видно, что квадрат DBHI является его удвоением. Если сторона DB и диагональ ВН соизмеримы, то можно сосчитать, какое количество раз каждая из них измеряется их общей мерой. При этом из чисел DB и DH по крайней мере одно не должно быть четным.
Квадраты DBHI и AGFE представляют собой квадратные числа. AGFE — это удвоенный DBHI, как ясно из чертежа. Следовательно, AGFE — это четное квадратное число, и его сторона AG, равная DH, должна быть четной. Значит, AGFI делится на 4. Поскольку ABCD — это 1/4 AGFE, он представляет собой четное число. Квадратное число DBHI должно быть его удвоением. Отсюда DBHI и его сторона DB — четные числа. Таким образом, вопреки предположению, мы приходим к тому, что числа DB и DB четные. Следовательно, эти две линии несоизмеримы.
Какую бы, впрочем, реконструкцию первоначального доказательства иррациональности √2 мы ни приняли, остается ясным, что это открытие имело кардинальную важность в становлении греческой математики. Проблемы, которые оно породило, дали импульс исследованиям Гиппократа, Феодора, Теэтета и нашли свое завершение в созданной Евдоксом теории пропорций, действительной как для соизмеримых, так и для несоизмеримых величин. Значение открытия иррациональности многие были даже склонны переоценивать, полагая, что оно привело к так называемому кризису оснований в греческой математике — по аналогии с тем, что произошло в математике на рубеже XIX-XX вв. [620] Однако эта точка зрения давно уже оставлена, ибо свидетельства такого кризиса отсутствуют. [621] Столь же мало подтверждения находит и идея о том, что открытие Гиппаса нанесло «смертельный удар» по пифагорейской догме «всё есть число». К этому вопросу мы еще вернемся при обсуждении пифагорейской философии.
Важность открытия иррациональности является одной из причин, по которой многие историки математики стремятся отнести его к как можно более позднему времени, к концу V в. или даже к началу IV в. Между тем все необходимые математические предпосылки этого открытия (теорема Пифагора, теория четных и нечетных чисел, метод reduciio ad absurdum) имелись уже на рубеже VI-V вв. Нас не должно смущать то обстоятельство, что между Гиппасом и Феодором, продолжившим его исследования, прошло два поколения. Такой же или даже еще больший временной разрыв мы наблюдаем и во многих других случаях. Первые три пропорции открыл Пифагор, следующие три были найдены Евдоксом (Eud. fr. 133), родившимся на 180 лет позже. Так же обстоит дело и с двумя способами нахождения пифагоровых троек: первый из них был найден Пифагором, второй — Архитом.
* * *
Представление о том, чего достигли пифагорейцы в математике к началу деятельности Гиппократа Хиосского (ок. 440), можно получить, сопоставляя свидетельства Евдема с тем, что вытекает из фрагментов самого Гиппократа. При этом следует помнить, что Евдем называет еще двух геометров, работавших в первой половине V в.: Анаксагора и Энопида Хиосского (fr. 133). К сожалению, о математике Анаксагора мы совсем ничего не знаем, с Энопидом же традиция связывает два сравнительно элементарных предложения (Eucl. 1,12, 23), которые, однако, весьма важны для астрономии. [622]
Из сообщений, прямо или опосредованно восходящих к Евдему, известно, что пифагорейцам принадлежали следующие геометрические открытия:
1) теорема о равенстве углов треугольника двум прямым (fr. 136), содержащаяся у Евклида (1,32);
2) теория приложения площадей, рассматриваемая в I и II книгах Евклида (fr. 137);
3) теорема о том, что плоскость вокруг точки могут заполнить только следующие правильные многоугольники: шесть треугольников, четыре квадрата и три шестиугольника (Procl. In Eucl., p. 304);
4) IV книга Евклида, рассматривающая отношения правильных многоугольников и круга (Schol. in Eucl. IV,2);
5) построение трех правильных многогранников — куба, пирамиды и додекаэдра (Schol. in Eucl. XIII,1).
Теоремы, уже известные Гиппократу, подтверждают сообщения Евдема и одновременно расширяют наши представления об уровне пифагорейской математики. Гиппократ хорошо знал значительную часть теорем I книги Евклида, в частности предложения 1-12, 22-23, 29, 32, 47-48. [623] Ему была известна также обобщенная теорема Пифагора для остроугольных и тупоугольных треугольников (II, 12-13) и теорема о правильном шестиугольнике, вписанном в круг (IV,15). Вместе с тем правильный пятиугольник, вписанный в круг, был известен уже Гиппасу. Мы еще раз убеждаемся в том, что вся
IV книга Евклида была известна пифагорейцам, за исключением, может быть, последнего предложения о правильном пятнадцати-угольнике (IV,16). [624]
Поскольку IV книга опирается на положения III книги, часть из которых была известна уже Фалесу, а некоторые другие использовал Гиппократ при квадрировании луночек, следует заключить, что к пифагорейцам восходит и большая часть III книги. [625] Правда, позже к этой книге был добавлен
