Владимир Булыгин - В сути вещей

Булыгину Виктору Ильичу – моему отцу, а также А.Ф. Лосеву, Р. Эшби, М. Эриксону и В.Ф. Турчину – людям, которых я считаю своими учителями.

А также хочу выразить благодарность за помощь в написании этой книги: Булыгиной Ольге Александровне, Ежову Виктору Семеновичу, Крашенинникову Михаилу Васильевичу, Кулику Борису Александровичу, Кузнецовой Татьяне Александровне, Пашиной Марине Вячеславовне, Субикиной Татьяне Ивановне, Федорову Вячеславу Алексеевичу.

И еще мне хочется сказать спасибо: Фишер Эмме Августовне (преподавателю географии в средней школе г. Тапа), Калинкиной Екатерине Петровне (преподавателю математики и классному руководителю в средней школе г. Тапа), Дмитриеву Владимиру Геннадиевичу (преподавателю истории и воспитателю в интернате г. Тапа). Хайновской Валентине Васильевне (преподавателю физики в институте связи г. Новосибирска).

Что должен? Идтить к землям доселе неизведанным, …ибо живу. Знать, что еще не ведомо, … ибо мыслю. А хочу-то что? Да, то же! Прикоснуться к тайне творения, потому что живу и мыслю.

И поэтому вопросы. …Стоит ли думать об основах математики не математику? А математику о философии? Или физику о биологии? … Стоит.

Говорят, что когда-то рухнула Вавилонская башня и первый грех – это грех познания. Возможно и так. Только вот бегаем мы до сих пор по миру с разными языками и знаниями. И с настолько разными, что понять друг друга не можем. … А ведь когда-то … в Греции было иначе – о философе можно было сказать, что он математик и наоборот.

Поэтому … идтить и, возможно, по нескольким дорожкам одновременно, … покуда еще живой.

А они – «по ту сторону» логики, ныне принятой… Математика в ее нынешнем виде заменяет понятие «существовать» на «по крайней мере один, но, возможно, даже все». Пожалуй, никто не станет возражать, что есть разница между «существует» и «существуют», что есть разница между единственным числом и числом множественным. Но ведь множественное число определяется через единственное, а не наоборот! Поэтому «существует» может быть заменено на «один», а «существуют» на «больше, чем один и, возможно, даже все».

Рассел сводит понятие «существовать» к свойству пропозициональной функции [4]: «пропозициональная функция есть просто любое выражение, которое содержит неопределенную конституенту или несколько неопределённых конституент и которое становится пропозицией, как только определяются неопределённые конституенты».

И у него же [4]: «Если вы говорите: единороги существуют, последнее будет означать, что существует [некий] х такой, что х единорог». Но что можно подставить вместо неопределённой конституенты, чтобы « х – единорог» было истинным? Только единорога! Тогда истинным будет только «существует единорог такой, что единорог – то же самое, что единорог».

Если понятие «существует» можно заменить на «то же самое», то «не существует» можно заменить на «не то же самое». Верно, что сказать «золотая гора не существует» все равно, что сказать «ничто существующее не является одновременно золотым и горой». И верно, что сказать «золотая гора существует» все равно, что сказать «нечто существующее является одновременно золотым и горой».

Формально, «золотая гора» = «золотая гора», либо «золотая гора» = («золотая» и «гора») – означает, что «золотая гора» существует. И «золотая гора» ≠ «золотая гора» – означает, что «золотая гора» не существует. И, следовательно, не существование золотой горы также означает:

«золотая гора» ≠ («золотая» и «гора»), либо «золотая гора» = не («золотая» и «гора»), либо «золотая гора» = («не золотая» или «не гора»), либо «нет золотой горы», либо «ноль золотой горы».

Объект – это отношение. Отношение чего? Отношение отношений. И первородный грех лежит на отношениях тождества и различия. … А как же тогда быть со свойствами, которые, как ныне принято, определяют объект? За ответом отсылаю к «Феномену науки» В. Турчина [1]:

«В философии решающий удар аристотелевской логике нанес Гегель. Он показал своей диалектикой, что мир надо рассматривать не как совокупность объектов, обладающих некоторыми свойствами, а как совокупность объектов, находящихся в некоторых отношениях друг к другу. При этом свойства не исключаются, конечно, из рассмотрения, ибо понятие отношения является более общим, чем понятие свойства. Отношение может быть определено для произвольного числа объектов. В частности, число объектов может быть равно единице; такое отношение и есть свойство».

И там же, … но от себя бы еще добавил, что и нынешние математики в своем большинстве живут в до Декартовской (Гегелевской) эпохе [1]:

«Но, если даже предположить, что греческие математики школы Платона познакомились бы с арифметической буквенной символикой, трудно представить, чтобы они воспроизвели научный подвиг Декарта. Ведь отношение не было для них идеей и не имело, следовательно, реального существования. Кому же придет в голову обозначать буквой то, чего нет?»

Итак, «a = b R c» означает, что «а – то же, что отношение (т. е. R) b к c». Причем, как «b», так и «с» сами могут быть отношением к чему-то другому, а не только свойством, например: «b = d R h», «с = w R q». Тогда «a = (d R h) R (w R q)». … Сама же пара (a, b R c) симметрична, т. е. «a» во всех мирах заменима на «b R c» и «b R c» заменима на «a».

И если кого-то смущает, что «объект – это отношение отношений» и для кого Гегель – лишь несварение мыслей, тот пусть задастся вопросом: для равенства y=f(x), если «x» – объект, а «f» – отношение, что есть «y»? «Y» – то же самое, что …

Не будем тревожить мышление «только математиков», ибо оно покоится с миром. … Поговорим лучше об элементе множества и множестве в терминах часть и целое. Может ли целое быть своей частью? Для случая, если частей больше одной, ответ однозначен: целое не может быть своей частью. А если она (часть) одна? Верно ли, что «a ≠ {a}»?

Ни у кого не вызывает возражений утверждение, что «a есть a», т. е. «a = a». Но как быть с формулировкой: «a» – это то, что «a»? Связка «… это то, что …» как раз группирует то, что находится после нее и именует эту совокупность тем, что находится перед ней. Например, синий квадрат – это то, что квадрат и синий: «синий квадрат» = {квадрат, синий}. Понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «квадрат». И понятно, что «синий квадрат» – не то же самое, что «синий». Так вот, «синий квадрат» как целое через знак тождества связывает свои части, которые по отдельности не равны целому. Но квадрат как целое будет равен квадрату как части, если других частей нет. Иначе говоря, «а = {а}» вырождается в «а = а».

Среди аргументов, которые критикуют эту концепцию, следующие: парадокс Рассела и довод, кочующий по учебникам: «Так, пусть a = {a, b} содержит два элемента. Рассмотрим множество {a}, содержащее своим единственным элементом множество «a». Тогда «a» содержит два элемента, в то время как {a} – лишь один элемент, и потому отождествление этих двух множеств невозможно». … Посыл, как видно, изначально не верен: рассматривается «а = {а, b}», а не «а = {а}».

Парадокс Рассела не многим сложнее. Напомню, как он звучит: «Пусть К – множество всех множеств, которые не содержит себя в качестве своего элемента. Содержит ли К само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению К, оно не должно быть элементом – противоречие. Если нет – то, по определению К, оно должно быть элементом К – вновь противоречие». … Не сложнее по той простой причине, что сразу утверждается «по определению К, оно не должно быть элементом».

Вообще говоря, считается, что источником парадоксов являются самореферентные структуры. Но это не так! Все они имеют не просто структуру с самореференцией, а самореференцию с отрицанием: «а = {а, не}», а не «а = {а}». … Предложение «а = {а, не}» противоречиво, а вот предложение вида «не-а = {а, не}» не противоречиво.

Применительно к парадоксу Рассела, это означает, что приравнивается изначально неравное «содержит в себе то, что не содержит в себе» или, короче, «содержит = {не, содержит}». Другими словами, он только потому является парадоксом, что приравнивает один из элементов множества к множеству, содержащему не только этот элемент.

Конечно, есть разница c тем, как общепринято формируется множество. Так, запись «м = {a, s | b}» означает, что множество «m» задается свойством «b» и содержит элементы «а» и «s». Но вот смысл отношения целого и частей здесь иной: «a = {b, c}, «s = {b, p}».