Но отсюда не следует, что противоречия нет. Вера математики во всесильность своего метода (в то, что все можно переопределить – исключить противоречия в принципе) ограничивает саму математику. Впрочем, пределы своего могущества обозначила сама же математика в лице Геделя теоремой о не полноте: если система полна, то она противоречива, а если не противоречива, то она не полна.
И я хочу добавить, перефразируя Канта, что две вещи на свете наполняют мою душу священным трепетом: желание, насколько это возможно, исключить противоречия и не испытывать ужас при встрече с ними.
Здравствуй, Таня!
Если бы бога спросили, как он относится к математике, которая в силу своего определения ставит табу на использование слова «противоречие», он, наверно, указал бы на импликацию: «истинно говорю вам, что из противоречия следует как истина, так и не истина … и без этой истины нет математики».
Число есть только другое название для различия. Точное тождество есть единство, а от различия возникает множество.
Возможно ли привести хотя бы один пример, который бы показал, что утверждение «один – это то, что равно себе» неверно? Найти такой пример мне не удалось. …
Один «А» = {А = А}. Один «А → В» = {А → В =А → В}. Одна «двойка» = {двойка = двойка}. Одно «много» = {много = много}.
Рассуждаем. Как уже отмечалось в предыдущей главе, «самотождественно» можно заменить на «существовать». Допустим, имеется некое А, и оно становится неким В: А → В. Получается, что до момента изменения «А остается тем же самым А». После изменения А нет – оно не существует, но существует В. На всем же промежутке наблюдения нельзя сказать, что «А существует» и что «В существует», но можно сказать, что «существует изменение из А в В», т. е. «А → В = А → В».
Обычно, единице сопоставляется некая мера: длина локтя, ложка песка, яблоко и т. д. Но что значит «сопоставить»? Ведь единице можно сопоставить не только яблоко, но и «чашку чая с бутербродом», «яблоко и яблоко»! Конечно, одно «яблоко» – не то же самое, что одно «яблоко и яблоко».
Так вот, все эти различия становятся не существенными в записи «один – это то, что равно нулю», т. е. «1 = {0 = …}». Теперь тем, что находится в скобках после знака равно, может быть как «А – А», «А и В – А и В», так и «0». В последнем случае, «1 = {0 = 0}» вырождается в «один – это то, что ноль существует».
Сказанное будет уместно сравнить с выводами Фреге [7]: «один – это число, соответствующее понятию равное 0». Но трактуется это утверждение в современной математике иначе: как «1 = {0}», а не как «1 = {0 = 0}». Впрочем, если понятие множества натуральных чисел «N = {x всех таких | что существует(х)}» записать лишь по отношению к единице, то получим «1 = {0 такое | что существует 0}».
Хотя определение «ноль – это то, что не равно себе» полностью совпадает с определением, данным Фреге [7], «0 – это число, соответствующее понятию не равное себе», философских нестыковок с общепринятым мнением здесь ожидается куда больше.
Причиной тому, во-первых, служит высказывание самого Фреге [7]: «поскольку под понятие не равное себе ничего не подпадает, я объясняю: 0 – это число, соответствующее понятию неравное себе». И, во-вторых, более фундаментальное – отрицание противоречия как математического объекта в принципе. … И это не только забавно. С одной стороны, «под понятие не равное себе ничего не подпадает». С другой стороны, ноль есть, т. е. само это «под понятие не равное себе ничего не подпадает» все же существует.
Немного конкретики. … Если перед глазами, например, яблоко, груша и два карандаша, то, сколько здесь не фруктов? Если не фруктов два, то чему тогда будут соответствовать яблоко и груша как числу? Нулю! Вернее, яблоко и груша будут соответствовать нулю не фруктов. … И именно этот смысл отобразит система координат, если по одной оси отобразить фрукты, а по другой не фрукты.
Другой пример. Возьмем «х2 + 1 = 0». Решений этого уравнения не существует (мнимые не рассматриваем). Не существует, поскольку для всех значений «х» не найдется ни одно такое, что будет верно тождество. Например, для натуральных чисел в качестве значения, имеем: «1 = 0», «2 = 0», «5 = 0» и т. д.
Представим это в общем виде и с учетом «дополнения отношений»: «А = В» или «А = ~А» или «А ≠ А». Тогда, ноль – это то, что «А ≠ А» (ноль – это «А = ~А», ноль – это «А = В»).
Иначе говоря, «ноль – это то, что не равно себе» заменимо на «противоречие – это то, что не равно себе». Ноль – то же, что противоречие, и противоречие существует.
Сугубо философские размышления о противоречии устами классика ниже. …
2.3. Философия противоречия
Диалектика тождества и различия в сфере смысла из книги «Самоё само» Лосева [8]:
«Эта диалектика, по общему правилу, должна «отражать» те связи и переходы, которые царят в соответствующей области учения о бытии. Для этого вспомним диалектику бытия и небытия, данную в гл. II, § 1, п. За, и попробуем выразить ее в категориях сущности.
Небытие отлично от бытия. Значит, это бытие в отношении небытия тождественно с небытием. Значит, небытие отлично от небытия. Допустим, однако, что небытие отлично от небытия. Но то, что отлично от небытия, есть бытие. Следовательно, небытие тождественно с бытием. Итак, различие между небытием и бытием существует лишь постольку, поскольку между ними существует тождество. Или: когда между членами отношения существует различие, то это происходит только потому, что между ними существует тождество. Другими словами, различие возможно только там, где есть тождество; и оно возможно только потому, что там же есть и тождество.
Бытие отлично от небытия. Но небытие тоже есть некоторое бытие. Следовательно, бытие отлично от самого себя. Допустим, однако, что бытие отлично от бытия. Но то, что отлично от бытия, есть небытие. Следовательно, бытие тождественно с небытием. Итак, тождество бытия с небытием вытекает из различия бытия с небытием. Тождество возможно только там, где есть различие, и оно возможно только потому, что там же есть и различие.
Бытие тождественно с самим собою, т. е. с бытием Но бытие как предикат отлично тут от бытия как субъекта, ибо иначе было бы бессмысленно и самое это утверждение. А то, что отлично от бытия, есть небытие. Следовательно, если утверждение, что бытие тождественно с самим собою, имеет хоть какой-нибудь смысл, то только потому, что бытие отлично от самого себя. Итак, тождество есть различие.
Небытие тождественно с небытием. Но небытие как предикат отлично тут от небытия как субъекта, ибо иначе было бы бессмысленно и самое это утверждение. А то, что отлично от небытия, есть бытие. Следовательно, если утверждение, что небытие тождественно с небытием, имеет хоть какой-нибудь смысл, то только потому, что небытие различно с небытием. Итак, тождество есть различие.
Эти четыре аргумента имеют одно и то же содержание: тождество есть не что иное, как различие; и различие есть не что иное, как тождество; однако при этом тождество не есть различие; и различие не есть тождество.
Бытие и небытие тождественны только в том случае и только потому, что тому и другому тождественно присуще различие со своим другим. И также бытие и небытие различны между собою только в том случае и только потому, что тому и другому присуще тождество с самим собою. Отбросим отличие бытия от небытия, нечему будет и отождествляться. Отбросим тождество бытия и небытия с самим собою, нечему будет и различаться. Это нужно твердо запомнить раз навсегда всякому, желающему разбираться в диалектике сущности: тождество всегда обязательно есть тождество различия (и только различия), тождественно данного где бы то ни было; и различие всегда обязательно есть различие тождества, различно данного где бы то ни было».
Какие комментарии? При условии, что существуют только тождество и различие и ничего более… различие есть различие… истинно то, что различие есть различие… истина есть то, что различие есть различие… истина, т. е. тождество есть то, что различие… тождество есть различие.
А вот что думает Лосев о противоречии [8]:
«Спрашивается: какой же это имеет смысл, как это отражается в сфере сущности? Ясно, что тут не годится ни тождество, ни различие. Категория тождества «отражает» собою то, что бытие просто полагает себя, т. е. себя как себя, а вовсе не себя как не-себя. Различие тоже тут выражает еще далеко не все, так как категория различия переносит в сущность только то, что бытие полагает небытие, или иное себе, а не специально себя как иное себе.
Где же та категория сущности, которая была бы смыслом этого нового положения дела, когда бытие заключается только в полагании себя как не-себя, т. е. в полагании границы, когда акт полагания бытия свидетельствует и о полагании небытия, когда бытие само громко кричит о своем собственном отрицании, о своей собственной границе? Это есть противоречие.
