Ознакомительная версия.
(4.03) Y=1/(X-LOC^2+1),
где Y = ордината характеристической функции;
Х = количество стандартных отклонений;
LOC = переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения.
Рисунок 4-2 LOC = 0 SCALE = I SKEW = 0 KURT = 2
Рисунок 4-3 LOC =0,5, SCALE = 1, SKEW = 0, KURT= 2
Таким образом, если бы мы хотели изменить расположение, передвинув график влево на 0,5 единицы, мы бы установили LOC на -0.5. Этот график изображен на рисунке 4-3.
Таким же образом, если бы мы хотели сместить кривую вправо, то использовали бы положительное значение для переменной LOC. LOC с нулевым значением не будет смещать график, как показано на рисунке 4-2.
Показатель в знаменателе влияет на эксцесс. До настоящего момента эксцесс был равен 2, но мы можем изменить его, изменив значение показателя. Теперь формулу нашей характеристической функции можно записать следующим образом:
(4.04) Y = 1 / ((X - LOC)^ KURT + 1),
где Y == ордината характеристической функции;
Х = количество стандартных отклонений;
LOC = переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения;
KURT = переменная, задающая эксцесс, четвертый момент распределения.
Рисунки 4-4 и 4-5 показывают влияние эксцесса на нашу характеристическую функцию. Отметьте: чем выше показатель, тем более плосковерхое и тонкохвостое распределение (эксцесс меньше нормального), и чем меньше показатель, тем более острый верх и тем толще хвосты распределения (эксцесс больше нормального). Чтобы не получить иррациональное число, когда KURT < 1, мы будем использовать абсолютное значение коэффициента в знаменателе. Это не повлияет на форму кривой. Таким образом, мы можем переписать уравнение (4.04) следующим образом:
(4.04) Y = 1/(ABS(X - LOC)^ KURT + 1)
Мы можем добавить множитель в знаменателе, чтобы контролировать ширину, второй момент распределения. Характеристическая функция будет выглядеть следующим образом:
(4.5) Y = 1 / (ABS((X - LOC) * SCALE)^ KURT + 1),
где Y = ордината характеристической функции;
X = количество стандартных отклонений;
LOC = переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения;
Рисунок 4-4 LOC=0, SCALE =1, SKEW = 0, KURT = 3
Рисунок 4-5 LOG = 0, SCALE = 1, SKEW = О, KURT = 1
KURT = переменная, задающая эксцесс, четвертый момент распределения;
SCALE = переменная, задающая ширину, второй момент распределения.
Рисунки 4-6 и 4-7 иллюстрируют изменение параметра ширины. Действие этого параметра можно представить как движение горизонтальной оси вверх или вниз Когда ось сдвигается вверх (при уменьшении ширины), график расширяется (см рисунок 4-6), как будто мы смотрим на его верхнюю часть. На рисунке 4-7 показана обратная ситуация, когда горизонтальная ось сдвигается вниз и кривая распределения сжимается. Теперь у нас есть характеристическая функция распределения, с помощью которой мы контролируем три из четырех моментов распределения Сейчас распределение симметрично. Для этой функции нам необходимо добавить коэффициент асимметрии, третий момент распределения. Характеристическая функция тогда будет выглядеть следующим образом:
где С = показатель асимметрии, рассчитанный следующим образом:
Y = ордината характеристической функции;
Х= количество стандартных отклонений;
LOC= переменная, задающая расположение среднего значения, первый момент распределения;
KURT = переменная, задающая эксцесс,
четвертый момент распределения;
SCALE = переменная, задающая ширину, второй момент распределения;
SKEW= переменная, задающая асимметрию, третий момент распределения;
sign() = функция знака, число 1 или -1. Знак Х рассчитывается как X/ ABS(X) для X, не равного 0. Если Х равно нулю, знак будет считаться положительным;
Рисунки 4-8 и 4-9 показывают действие переменной асимметрии на распределение. Отметим несколько важных особенностей параметров LOC, SCALE, SKEW и KURT. За исключением переменной LOC (которая выражена как число стандартных значений для смещения распределения), другие три
Рисунок 4-6 LOC=0, SCALE =0,5, SKEW = 0, KURT=2
Рисунок 4-7 LOC=0, SCALE = 2, SKEW = 0, KURT=2,
Рисунок 4-8 LOC=0, SCALE =1, SKEW =-0,5, KURT = 2.
Рисунок 4-9 LOG = 0, SCALE = 1, SKEW = +0,5, KURT = 2.
переменные являются безразмерными, то есть их значения являются числами, которые характеризуют форму распределения и относятся только к этому распределению. Значения параметров будут другими, если вы примените стандартные измерительные методы, детально описанные в разделе «Величины, описывающие распределения» главы 3. Например, если вы определите один из коэффициентов асимметрии Пирсона на наборе данных, он будет отличаться от значения переменной SKEW для распределений, рассматриваемых здесь. Значения четырех переменных уникальны для рассматриваемого распределения и имеют смысл только в данном контексте. Крайне важен интервал возможных значений этих переменных. Переменная SCALE всегда должна быть положительной, кроме того, она не ограничена сверху. То же самое верно для переменной KURT. На практике, однако, лучше использовать значения от 0,5 до 3, в крайнем случае, от 0,05 до 5. Вы можете использовать значения и за пределами этих крайних точек при условии, что они больше нуля.
Переменная LOC может быть положительной, отрицательной или нулем. Параметр SKEW должен быть больше или равен -1, и меньше или равен +1. Когда SKEW равен +1, вся правая сторона распределения (справа от пика) равна пику. Когда SKEW равен -1, пику равна вся левая сторона распределения. Интервалы значений переменных в общем виде таковы:
(4.08) - бесконечность < LOC < + бесконечность
(4.09) SCALE > 0
(4.10) -1<=SKEW<=+1
(4.11) KURT > О
Рисунки с 4-2 по 4-9 показывают, как легко изменяется распределение. Мы можем подогнать эти четыре параметра таким образом, чтобы получившееся в результате распределение было похоже на любое другое распределение.
Подгонка параметров распределения
Как и в процедуре, описанной в главе 3, по поиску оптимального f при нормальном распределении, мы должны преобразовать необработанные торговые данные в стандартные единицы. Сначала мы вычтем среднее из каждой сделки, а затем разделим полученное значение на стандартное отклонение. Далее мы будем работать с данными в стандартных единицах. После того как
мы приведем сделки к стандартным значениям, можно отсортировать их в порядке возрастания. На основе полученных данных мы сможем провести тест К-С. Нашей целью является поиск таких значений LOC, SCALE, SKEW и KURT, которые наилучшим образом подходят для фактического распределения сделок. Для определения «наилучшего приближения» мы полагаемся на тест К-С. Рассчитаем значения параметров, используя «метод грубой силы двадцатого века». Мы просчитаем каждую комбинацию для KURT от 3 до 0,5 с шагом -0,1 (мы можем также взять интервал от 0,5 до 3 с шагом 0,1, так как направление не имеет значения). Далее просчитаем каждую комбинацию для SCALE от 3 до 0,5 с шагом -0,1. Пока оставим LOC и SKEW равными 0. Таким образом, нам надо обработать следующие комбинации:
LOC SCALE SKEW KURT 0 3 0 3 о 3 0 2,9 о 3 0 2,8 о 3 0 2,7 о 3 0 2,6 о 3 0 2,5 о 3 0 2,4 о 3 0 2,3 о 3 0 2,2 о 3 0 2,1 о 3 0 2 о 3 0 1,9 * * * * * * * * * * * * о 2,9 0 3 о 2,9 0 2,9 * * * * * * * * * * * * о 0,5 0 0,6 о 0,5 0 0,5
Для каждой комбинации проведем тест К-С. Комбинацию, которая даст наименьшую статистику К-С, будем считать оптимальной для параметров SKALE и KURT (на данный момент). Чтобы провести тест К-С для каждой комбинации, нам необходимо как фактическое распределение, так и теоретическое распределение (определяемое параметрами тестируемого характеристического распределения). Мы уже знаем, как создать функцию распределения вероятности X/N, где N является общим числом сделок, а Х является рангом (от 1 до N) данной сделки. Теперь нам надо рассчитать ФРВ для теоретического распределения при данных значениях параметров LOC, SCALE, SKEW и KURT. У нас есть характеристическая функция регулируемого распределения, она задается уравнением (4.06). Чтобы получить ФРВ из характеристической функции, необходимо найти интеграл характеристической функции. Мы обозначаем интеграл, т.е. площадь под кривой характеристической функции в точке X, как N(X). Таким образом, так как уравнение (4.06) дает первую производную интеграла, мы обозначим уравнение (4.06) как N'(X). В большинстве случаев вы не сможете вывести интеграл функции, даже если вы опытный математик. Поэтому вместо интегрирования функции (4.06) мы будем использовать другой метод. Этот метод потребует больших усилий, но он применим к любой функции.
Ознакомительная версия.
