Далее оно может быть представлено в более простом виде
dN/ dT =(1/С)∙N2 ∙(1 —N/Nmax). (3.3)
При N/Nmax → 0 уравнение (3.3) преобразуется в уравнение типа (1.2), соответствующее гиперболическому росту населения. При N/Nmax → 1 уравнение (3.3) превращается в уравнение dN/dT = 0, а его решение N = Nmax. Именно эти два предельных случая использованы для замены неизвестных констант в уравнении (3.2) при переходе к (3.3) с помощью выражений:
А∙γ(1 – k∙m) = 1/С; (3.4)
k∙γ/(1 – k∙m) = 1/Nmax. (3.5)
При N/Nmax ~ 1 влияние ограничивающего фактора становится существенным и темп роста численности населения падает. Нормированная функция относительного темпа роста населения
Y = 4(С/N)dN/ dT = 4(N/Nmax)(1 —N/Nmax) (3.6)
представляет собой перевернутую квадратичную параболу (рис. 3.4).
Рис. 3.4. Нормированная функция относительного темпа роста населения
Отметим, что уравнение (3.3) может быть непосредственно проверено на адекватность. Например, при известной производной dN/dT оно позволяет вычислить максимальную численность человечества
Nmax = N/(1 – C(dN/dT)/N2). (3.7)
Так, в 1995 году скорость роста населения Земли составила dN/dT = 87,4 млн чел. в год, N = 5 682 млн чел.[89]. При С = 160 млрд чел.∙лет получим, что величина Nmax = 10 млрд чел., что близко к прогнозируемой максимальной численности человечества, что подтверждает корректность уравнения (3.3).
Решение дифференциального уравнения (3.3) численным методом приведено на рис. 3.5 и обозначено: «F2» (число людей дано в млн чел.). Там же для сравнения дано решение, предложенное С.П. Капицей (F1). Здесь С – константа из уравнений (1.2), (3.3), которая была выбрана из условия наилучшей аппроксимации С = 160 млрд чел. год, а величина Nmax = 10 150 млн чел.
Из рис. 3.5 видно, что решение данного уравнения относительно незначительно отличается от кривой С. П. Капицы. Наибольшее отличие от статистических данных наблюдается, как и у кривой Капицы, в начале XX века, что является следствием двух мировых войн, пандемии испанки и гражданской войны в России, которые привели к отклонению от теоретической зависимости до 10 %. После 1960 года, т. е. в период демографического перехода, отклонение от статистических данных не превышает 5 %, а от кривой F1 – 3,5 %.
Рис. 3.5. Варианты кривой демографического перехода (млн чел.)
Для более точного сравнения разных уравнений демографического перехода они представлены в табл. 3.1.
Таблица 3.1. Погрешность кривой демографического перехода
Там же приведены значения численности населения Земли N по статистическим данным, на которые опирался С.П. Капица[90]. Здесь ΔN/N – относительное отклонение решения от статистических значений. Видно, что предложенное решение F2 достаточно хорошо согласуется со статистическими данными и еще ближе к теоретической кривой С.П. Капицы, в которой также не могли учитываться такие факторы, как войны и пандемии.
Отметим, что период после 1960 года в мировой истории связан с максимальными темпами экономического роста, отсутствием значительных войн и кризисов, а также быстрым постколониальным развитием стран третьего мира. В этот момент наблюдались быстрые темпы роста населения Земли, которые не только компенсировали потери начала ХХ века, но и привели к превышению реальной численности населения по сравнению с теоретической зависимостью на 3–5 % в период 1975–2000 годов (см. рис. 3.5).
3.3. Аналитическое решение
Уравнение (3.3) может быть решено и аналитически. Для этого введем безразмерную переменную Х = N/Nmax и преобразуем уравнение (3.3) к виду
(1 / (Х2(1 – Х))dХ = (Nmax/С)dT. (3.8)
Решение этого уравнения имеет вид
1/Х – Ln (Х/(1 – X)) = (Nmax/С)(Т1 – Т). (3.9)
Возвращаясь к переменной N, получим
T = Т1 – С/N – (C/Nmax)Ln(N/(Nmax – N)). (3.10)
Величина C/Nmax имеет размерность времени и характеризует время демографического перехода С/Nmax = N0T0 /Nmax ≈ 16 лет. Если ввести параметр характерного времени демографического перехода t1 = С/Nmax = N0T0 /Nmax, то мы можем в уравнении (3.8) ввести безразмерный параметр времени t = T/t1 = T × Nmax/T0N0 и преобразовать это уравнение в полностью безразмерное, причем в нем не будет ни одного безразмерного параметра подобия. Соответственно решение уравнения в безразмерном виде имеет общий вид
N/Nmax = F(TNmax/T0N0) = F(T/ t1).
Характерно, что величина Т1 при численном решении не является параметром решения и задание начальной точки для расчета, например, N(T=1800 год) или точки, в которой мы хотим получить хорошее согласование результатов, вполне компенсирует отсутствие данного параметра. Дата Т1 играет роль типа начала координат, и ее изменение приводит к сдвигу всей кривой по времени. Хорошее согласование аналитического решения со статистическими данными достигалось при C/Nmax =16 лет, Nmax = 10…10,15 млрд чел. и Т1 = 2022 год. Аналитическое и численное решения дают одну и ту же зависимость N(T).
3.4. Анализ параметров решения
Для лучшего понимания смысла полученного решения вернемся к значениям констант А и k в уравнениях (3.1), (3.2).
Коэффициент k определяет, при каком уровне G/N люди предпочитают наемный труд воспитанию детей (собственно в этом и есть смысл демографического перехода). Размерность k – [чел. × год/долл.]. Из представленного выше выражения (3.5) для константы k видно, что параметр k = 1 /γ∙Nmax(1 + m/ γ∙Nmax). Поскольку m/ γ∙Nmax ≈ 0,02, с точностью в 2 % k = 1 /γ∙Nmax. При Nmax =10 000 млн чел. 1/k ≈ 10 400 долл./чел.∙год (в междунар. долл. 1995 года).
Коэффициент А характеризует относительную скорость роста численности населения Земли в зависимости от роста ВВП на душу населения, который связан с накоплением знания человечества, в свою очередь зависящего от числа людей. Из выражения (3.4) следует, что величина А = 1/С∙γ∙(1 – k∙m) = 1/С∙γ∙(1 – m/γ∙Nmax) ≈ 1/С∙γ. При С ≈ 16∙1010 чел.∙год коэффициент А ≈ 1/(γ∙С) = 6∙10-6 чел./долл.
В уравнении (3.10) определяющим параметром является отношение C/Nmax, имеющее размерность времени. Выражая Nmax и С через константы А, γ, k, получим, что С∙Nmax = k/А = 16 лет. Таким образом, данный параметр представляет собой отношение величины G/N, при которой происходит демографический переход, к коэффициенту роста G/N в зависимости от численности населения Земли. Фактически он означает, как быстро будет достигнут уровень ВВП, соответствующий изменению демографического поведения семей.
Снижение рождаемости вопреки росту благосостояния становится существенным при величине ограничивающего фактора k∙G/N ~ 0,3. При этом (G/N)dem ≈ 0,3/k ≈ 3 120 долл./чел. (здесь долл. – междунар. долл. 1995 года; в долл. 2011 года эта величина примерно на 37 % больше и составляет ~4 260 долл.). Такого уровня данная величина для мира в целом достигла примерно в 1960 году, после чего начался быстрый спад рождаемости в мире (см. рис. 3.1). Характерно, что эта величина примерно в 15 раз больше прожиточного минимума, обеспечивающего нулевой уровень воспроизводства населения, – m.
Из полученных уравнений (3.1), (3.3) видно, какие характеристики человечества как синергетической системы влияют на рост ее численности и наступление демографического перехода:
● на начальной стадии гиперболического роста это коэффициент С, который характеризует темп прироста населения во взаимосвязи с ростом уровня жизни (G/N) населения и его численностью;
● вблизи демографического перехода это порог, после которого участие женщин в наемном труде становится более привлекательным, чем воспитание детей (G/N) dem ≈ 4 260 долл./чел. (в долл. 2011 года), а также характерный масштаб времени демографического перехода t1 ≈ СNmax ≈ 16 лет.
Следует также отметить, что удовлетворительные результаты, которые дает принятая в уравнении (3.1) форма ограничивающего фактора (см. рис. 3.4), связаны с тем, что в мире есть и высокоразвитые и менее развитые страны. При более однородном составе населения, вероятно, должны иметь место решения с депопуляцией населения, как это наблюдается в реальности. Не исключено, что при некоторой модификации уравнение (3.1) может быть применено и к отдельной стране, но соотношения (3.3), (3.6) в этом случае будут другими.
