Тем не менее даже в конце XVIII столетия еще оставались математики, глубоко убежденные в том, что отрицательные числа — это «специальный термин, лишенный здравого смысла; но, будучи однажды введенным в оборот, подобно многим другим выдумкам, находит своих самых рьяных сторонников среди тех, кто любит принимать все на веру и не терпит тяжелый труд серьезных размышлений» [6]. Уильям Френд, второй среди лучших студентов, изучавших математику в Кембридже, написал эти слова в 1796 году в книге, которая стала уникальной в математической литературе: это было введение в алгебру, не содержащее ни единого отрицательного числа.
Когда мы изучаем отрицательные числа в школе, нам не рассказывают всю эту предысторию. Мы принимаем отрицательные числа по аналогии с числовой осью, а затем узнаем поразительную новость:
Минус, умноженный на минус, дает плюс.
Вот это да! Числовая ось прекрасно справляется с визуальной репрезентацией отрицательных чисел, но она не дает представления о том, что происходит, когда мы умножаем их друг на друга. Математика становится еще сложнее.
Почему произведение двух отрицательных чисел равно положительному числу? Потому что это вытекает из правил умножения положительных чисел. Мы принимаем, что два отрицательных числа образуют положительное, поскольку это обеспечивает связность арифметических операций, а не потому, что в основе данной системы лежит какой-то смысл. Это необходимый структурный элемент того основания, которое не дает зданию чисел разрушиться. Рассмотрим числовую ось. Если я сделаю два шага вперед от 0, я попаду в позицию 2. Если я повторю эти два шага, я доберусь до 4, а если сделаю это еще раз, то достигну точки 6. Точно так же, если я перемещусь на две единицы назад от ноля, я попаду в точку −2, а если повторю эти шаги еще два раза, то выйду на −6.
Все эти операции можно записать в виде таких выражений:
2 + 2 + 2 = 6
−2 −2 −2 = −6
Что эквивалентно следующим произведениям:
3 × 2 = 6
3 × −2 = −6
Эти выражения говорят нам о том, что если положительное число умножить на положительное, получится положительный результат, а если положительное число умножить на отрицательное, результат будет отрицательный. Для того чтобы выяснить, что произойдет в случае перемножения двух отрицательных чисел, давайте в последнем выражении подставим вместо числа 3 разность (4 – 1), что даст нам следующее уравнение:
(4 – 1) × −2 = −6
Это уравнение можно записать так:
(4 × −2) + (−1 × −2) = −6
Мы знаем, что согласно правилам выполнения арифметических операций с положительными числами, когда два члена выражения, взятые в скобки, умножаются на одно число, необходимо умножить каждый член выражения в скобках на это число отдельно. (Это правило известно как закон дистрибутивности.) Получается следующее уравнение:
−8 + (−1 × −2) = −6
Следовательно:
(−1 × −2) = 2
Вот мы и пришли к тому, что искали. Минус, умноженный на минус, дает плюс.
Одна из причин того, почему нам так трудно понять принцип умножения отрицательных чисел на концептуальном уровне, состоит в том, что в жизни существует множество ситуаций, в которых арифметика создает неправильную модель. Не успел учитель объяснить нам эту идею, как нам рассказывают, что два заблуждения — еще не правда. В лингвистике двойное отрицание может быть либо отрицанием, либо утверждением, в зависимости от контекста и языка. Когда я изучал португальский, мне пришлось привыкать к тому, что на этом языке фразу I know nothing (одно отрицание) необходимо говорить так: não sei nada, или I don’t know nothing (двойное отрицание»). В данном случае два отрицания усиливают отрицание, а не нейтрализуют друг друга.
Безусловно, в английском языке двойное отрицание равносильно утверждению. Лингвист Джон Лэнгшо Остин однажды на конференции сказал, что ни в одном языке дважды повторенное утверждение не дает отрицания. Говорят, что сидевший в зале философ Сидни Мордженбессер произнес в ответ: «Да-да».
Одним из первых приверженцев индийской системы счисления, включавшей в себя ноль и отрицательные числа, был Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми (около 750–850). Впоследствии латинские версии имени аль-Хорезми использовались для описания арифметических методов, которые он популяризировал; именно от его имен происходит и слово «алгоритм». Кроме того, аль-Хорезми разработал новый раздел математики — алгебру, название которой происходит от арабского слова al-jabr, что означает «восстановление». Алгебра — это язык уравнений, в котором для представления чисел используются такие символы, как x и y. В алгебре вопрос «Какое число, прибавленное к двум, дает ноль?» может быть выражен в виде задачи — найти x, когда:
x + 2 = 0
Ответ такой: x = −2. Независимо от того, считаете вы отрицательные числа имеющими смысл или нет, значение −2 — решение этого уравнения. Именно благодаря алгебре европейские математики эпохи Возрождения в конце концов включили отрицательные числа в определение числа. Какими бы абсурдными они ни казались, это все же были числа.
Вскоре алгебраисты столкнулись с еще одной проблемой. Пользуясь только положительными и отрицательными числами, а также четырьмя арифметическими операциями, такими как сложение, вычитание, умножение и деление, они обнаружили концепцию, которую не могли понять. Это было решение уравнения:
x2 = –1
Ответ — квадратный корень из минус единицы, или х = √−1. Однако вот в чем проблема: какое число, умноженное само на себя, может быть отрицательным? Это точно не положительное число, поскольку произведение двух положительных чисел — положительное число. Это и не отрицательное число, так как произведение двух отрицательных чисел — тоже положительное число. Первым отрицательные корни уравнений использовал Джероламо Кардано в 1545 году [7]. По его собственным словам, размышления о них приносили ему «умственные мучения», что неизбежно произойдет с каждым, кто еще не сталкивался с данным понятием. В итоге он просто проигнорировал его, заявив, что если решение уравнения — квадратный корень из отрицательного числа, то это «изящно не в меньшей степени, чем бессмысленно». Кардано открыл дверь в новый мир математики, а затем снова захлопнул ее.
Через несколько десятилетий соотечественник Кардано Рафаэль Бомбелли снова открыл эту дверь и робко вошел в нее. Квадратные корни из отрицательных чисел появлялись в алгебраических вычислениях все чаще и чаще, поэтому Бомбелли решил обращаться с ними как с положительными и отрицательными числами, складывая их, вычитая, умножая и деля при каждом их появлении. «Многие считали, что это безумная мысль, — писал он. — Создавалось впечатление, что вся эта область опирается на софистику, а не на истину». И все же квадратные корни из отрицательных чисел были не просто удобны, а давали возможность решать уравнения, которые раньше считались нерешаемыми. Если не задумываться о том, что значат квадратные корни из отрицательных чисел, они вполне могли вписаться в общую систему.
В 1637 году Рене Декарт назвал квадратные корни из отрицательных чисел «мнимыми», а столетие спустя Леонард Эйлер закрепил это понятие: «Все выражения типа √–1, √–2 и т. д. — это невозможные, или мнимые числа, поскольку они представляют собой корни из отрицательных чисел. В отношении таких чисел мы можем, в сущности, утверждать, что они не являются ни ничем, ни больше чем ничто, ни меньше чем ничто, а это неизбежно делает их мнимыми или невозможными». Эйлер обозначил число √–1 специальным символом i (от англ. imaginary — «мнимый») и доказал, что квадратный корень из любого отрицательного числа может быть выражен в виде величины, кратной i [8]. Например, √–4 равно 2i, поскольку √–4 = (√4 × – 1) = √4 × √–1 = 2 × i = 2i. В общем виде это можно записать так: √–n = (√n)i. Квадратные корни из отрицательных чисел (которые представляют собой величины, кратные i) известны под общим названием «мнимые числа».
Числа, не относящиеся к категории мнимых, называются действительными числами. Они действительные потому, что находятся на числовой оси, а значит, мы можем увидеть, что они и правда там есть. Числа 2, 3, 5, – 4 и π — действительные числа, а 2i, 3i, 5i, –4i и πi — мнимые. На самом деле множество мнимых чисел — это своего рода зеркальное отражение действительных чисел. Каждому действительному числу m соответствует мнимое число mi.
Когда действительное число прибавляется к мнимому, такая гибридная форма, как 3 + 2i, называется комплексным числом. Все комплексные числа имеют форму a + bi, где a и b — действительные числа, а i — это √–119. Поскольку прибавить действительное число к мнимому в общепринятом смысле нельзя, знак плюс используется исключительно для разделения двух частей числа. Считается, что комплексное число — это одно число, состоящее из двух частей — действительной и мнимой. Если действительная часть равна нулю, тогда все число мнимое; если мнимая часть равна нулю, тогда число действительное.
