90 км/ч, у стрижа — 140 км/ч, у журавля, воробья или кряквы — 50 км/ч, у колибри — 80 км/ч. Но все эти птицы существенно различаются по размерам и манере полета. Если длину попугая измерять в попугаях, а время — в периодах взмаха его крыльев, можно получить некую, как говорят, собственную скорость попугая. Можно скорости, которые способны развивать эти птицы, разделить на собственные значения и получить безразмерную скорость, показывающую, на сколько длин корпуса может переместиться птица за один взмах крыльев. Вот что получается при таком сравнении.
Видно, что стриж по праву считается лучшим летуном, а вот колибри неэффективно расходует энергию. Впрочем, у этой птицы нет задачи лететь долго, как у голубя. Одинаковые абсолютные скорости журавля, воробья и утки существенно разнятся при переводе в безразмерные величины. Такого рода расчеты используются, чтобы моделировать настоящий большой самолет, испытывая маленькую модель в аэродинамической трубе. Если все безразмерные параметры этих двух систем близки, они могут считаться физически подобными, и моделирование имеет смысл. Мы уже пользовались таким подходом, отражая на диаграммах Лоренца относительные единицы вместо абсолютных. Это позволяло нам сравнивать различные явления и распределения.
Какой будет самая подходящая система единиц при анализе полета бутерброда? Длину и стола, и бутерброда надо измерять не в сантиметрах или метрах, а в бутербродах. За единицу времени можно взять величину где l — длина бутерброда, а g — ускорение свободного падения. Легко убедиться, подставив какие-нибудь единицы измерения, что эта величина имеет размерность времени. Получив результат таким путем, мы сразу можем обобщить его как для крошечного канапе, так и для солидного «лаптя». Итак, повторим наши вычисления, благо виртуальные бутерброды у нас не закончатся никогда, отражая на графике высоту стола в собственных единицах. Если мы всё сделаем правильно, то для двух разных по размерам бутербродов мы должны получить очень похожие графики. Проверим это (рис. 3.8).
Рис. 3.8. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда некой фиксированной величины при различной высоте падения, определенной в собственных единицах задачи. Черные точки соответствуют бутерброду размером 5 см, белые — 10 см
В первоначальной постановке задачи мы, перебирая различные размеры, получали облако результатов, в котором оказалась скрыта интересующая нас зависимость. При увеличении числа испытаний мы это облако усреднили и получили неинтересный ответ, лишенный важных деталей. Чтобы ярче показать, в чем состояла методическая ошибка, представьте, что мы захотим вычислить вероятность падения бутерброда маслом вниз, перебирая случайным образом и начальные условия, и размеры бутерброда, и высоту. Это равносильно усреднению всех результатов разом. В итоге мы получим уверенную серединку — вероятность, очень близкую к 1/2, как при подбрасывании монеты! Очень логичный и ожидаемый результат, но он неинтересен. Усредняя множество данных для разных размеров, мы уже приблизились к такому выводу. Но если цель моделирования состоит в выявлении закономерности, то имеет смысл минимизировать число параметров.
Обезразмеренные данные теперь четко говорят в пользу нашего закона, ограничивая его, однако, определенным диапазоном высот: от 2 до 5 размеров бутерброда (от высоты локтя над столом до высоты руки сидящего человека). За пределами этого диапазона у бутерброда повышается шанс повернуться более выгодной для нас стороной перед падением.
А что, если заглянуть дальше и кидать бутерброды из окна? Понятно, что при падении с большой высоты уже неважно, какой стороной приземлилось то, во что превратится бутерброд, и сопротивление воздуха стабилизирует падение, но чисто теоретически: что мы ожидаем увидеть? Наверное, должны наблюдаться некие колебания вероятности по мере увеличения времени полета. Давайте посмотрим (рис. 3.9).
Рис. 3.9. Вероятность приземления маслом вниз бутерброда при падении с большой высоты
В целом форму зависимости мы угадали, но любопытно, что амплитуда колебаний вероятности уменьшается и она сходится к 50 %. О чем это может говорить? Тот же ли это эффект, что и в случае с монеткой, когда при увеличении длительности полета становятся более существенными последствия отклонений начальных условий? Оказывается, в данном случае природа выравнивания вероятностей иная.
Еще немного анализа размерностей
Какой бы несерьезной ни была тема нашей книги, мы говорим на языке математики, а он стремится к точным решениям. Можно встретить даже такую фразу: «Если для решения вам понадобился только компьютер, то это еще не математика». Метод Монте-Карло позволил нам получить представление о решении, но это то, что называется грубой силой. Это совсем не так интересно, как хоть какое-то, но аналитическое решение.
Анализ размерностей позволит нам построить теоретический вид зависимости, полученной методом Монте-Карло. Для этого не понадобится решать дифференциальные уравнения; более того, рассуждения не выйдут за пределы вполне примитивных и очевидных соотношений. В том и состоит очарование анализа размерностей — который, впрочем, иногда выглядит фокусничеством. Итак, приступим, ограничиваясь для простоты соскальзыванием бутерброда длины l со стола высоты H с нулевой горизонтальной скоростью.
1. Угол поворота падающего бутерброда зависит от времени и угловой скорости:
φ = tω.
2. Угловая скорость равна произведению времени соскальзывания и углового ускорения:
ω = t0ε.
3. Время соскальзывания можно выразить через ускорение свободного падения и часть длины бутерброда, которая соприкасалась со столом, следующей пропорцией:
где l0 — длина части бутерброда, лежавшей на столе. Здесь мы используем отношение пропорциональности, обозначенное знаком ∝. Выражение y∝x можно переписать как y = Cx, где C — некая неизвестная константа. Я очень люблю это отношение. Пропорциональность «вбирает в себя» все сложное, что превращается в константу: и то, что при повороте меняется момент силы тяжести, и то, что при соскальзывании перемещается центр вращения. Все это, конечно, нужно знать для точного расчета, но в результате получится только безразмерный коэффициент, а в нашем анализе он не играет роли. Одним значком мы избавили себя от утомительного интегрирования.
1. Угловое ускорение происходит от ускорения силы тяжести и зависит
