предполагал отсутствие внешних магнитных полей.
Формула показывает, что теперь фазовый переход есть и приводит к существованию ненулевого внутреннего магнитного поля при температуре ниже критической, равной
где
kB – постоянная Больцмана из термодинамики, а
J – сила взаимодействия между спинами. Для температур вблизи критической точки удельная теплота уходит в бесконечность, как и логарифм разности между реальной и истинной температурой – одной из характеристик фазового перехода. В более поздних работах были выведены также различные критические экспоненты.
* * *
Но какое отношение эти игры со спинами электронов и магнитами имеют к прудам с талой водой во льдах Арктики? Тающий лед находится в состоянии фазового перехода, но лед – это не магнит, а таяние не связано с переворачиванием спинов. Откуда здесь может взяться полезная связь?
Если бы математика была жестко связана с какой-то одной физической интерпретацией, которая ее и породила, то ответ был бы «ниоткуда». Однако это не так. По крайней мере, не всегда. Именно здесь вступает в игру пресловутая непостижимая эффективность математики.
Моделирование развития системы талых прудов на базе модели Изинга [11]
Часто первым указанием на возможность такой мобильности, когда математическая идея перекочевывает из одной области применения в другую, вроде бы не связанную с ней область, становится неожиданное семейное сходство в какой-нибудь формуле, графике, числе или картинке. Как правило, сходство такого рода оборачивается не более чем визуальной ассоциацией, совпадением, привлекающим внимание, но ничего не означающим. В конце концов, на свете не так уж много разных графиков и фигур.
Иногда, однако, такое сходство является ключом и указывает на глубокую взаимосвязь.
Именно так началось исследование, к которому я наконец перехожу в этой главе. Около 10 лет назад математик Кеннет Голден, рассматривая фотографии морских арктических льдов, заметил, что они необычайно похожи на картинки пятен электронных спинов вблизи фазового перехода в точке Кюри. Он задался вопросом, нельзя ли приспособить модель Изинга для объяснения процесса формирования и распространения талых прудов. Модель для льда, конечно, применяется на гораздо более крупном масштабе, ведь состояния «вверх»/«вниз» у крохотных электронов здесь заменяются на состояние лед/вода на участке поверхности морского льда площадью около одного квадратного метра.
Потребовалось время, чтобы превратить эту мысль в серьезную математику, но она привела Голдена, работавшего вместе с метеорологом Куртом Стронгом, к новой модели влияния климатических изменений на морской лед. Голден показал результаты моделирования по Изингу одному из коллег, специализировавшемуся на анализе изображений талых прудов, и тот принял их за фотографии реальных прудов. Более подробный анализ статистических свойств этих изображений – например, соотношения между площадью прудов и их периметрами, указывающего на степень извилистости береговой линии, – показал очень близкое численное совпадение.
Геометрия талых прудов жизненно важна для климатических исследований, потому что она влияет на важные процессы, протекающие на морском льду и в верхних слоях океана. Среди этих процессов – изменение альбедо льда (коэффициента, указывающего, какую часть света и теплового излучения он отражает) по мере его таяния, дробление ледяных полей и изменение их размеров. Это, в свою очередь, влияет на распределение светлых и темных пятен подо льдом, на фотосинтез водорослей и экологию микроорганизмов.
Приемлемая модель не должна противоречить двум основным наборам наблюдаемых данных. В 1998 году экспедиция SHEBA определила размеры талых прудов посредством фотографирования с вертолетов. Из наблюдений получилось, что распределение вероятностей в отношении размеров прудов подчиняется степенному закону: вероятность обнаружения пруда площадью A примерно пропорциональна Ak, где постоянная k примерно равна –1,5 для прудов площадью от 10 до 100 м2. Такой тип распределения часто указывает на фрактальную геометрию. Те же данные, вкупе с наблюдениями Трансарктической экспедиции Хили – Одена 2005 года HOTRAX, показывают фазовый переход во фрактальной геометрии талых прудов по мере их роста и слияния. Геометрия прудов развивается от простых форм в самоподобные области, границы которых ведут себя как заполняющие пространство кривые. Фрактальная размерность граничных кривых – соотношение между площадью и периметром – изменяется при этом от 1 до примерно 2 при критической площади пруда около 100 м2. Это влияет также на изменение ширины и глубины прудов, на площадь контакта вода – лед, через который происходит расширение прудов, и, наконец, на скорость таяния.
Полученная из наблюдений величина показателя степени k составляет –1,58 ± 0,03, что хорошо согласуется с величиной –1,5 от SHEBA. Изменение фрактальной размерности, замеченное HOTRAX, может быть рассчитано теоретически с использованием модели просачивания, для которой максимальная размерность, соответствующая примерно 2, оказывается равной 91/48 = 1,896. Численное моделирование по модели Изинга тоже дает фрактальную размерность, очень близкую к данной {65}.
Одна интересная особенность этой работы состоит в том, что используемая модель оперирует очень небольшими масштабами длин – всего в несколько метров. Большинство климатических моделей имеет масштаб длины в несколько километров. Так что подобное моделирование – совершенно новый раздел. На данный момент он еще находится в стадии становления, и модель требует немалой доработки, чтобы вобрать в себя больше физики тающего льда, поглощения и излучения солнечного света, даже ветров. Но она уже подсказывает новые пути сравнения наблюдаемых данных с математическими моделями и позволяет в какой-то степени объяснить, почему талые пруды образуют такие замысловатые фрактальные формы. Кроме того, это первая математическая модель фундаментальной физики талых прудов.
Репортаж The Guardian, процитированный в эпиграфе к данной главе, рисует мрачную картину. Недавнее ускорение таяния арктических льдов и уменьшения ледового покрова, выведенное из наблюдений, а не из математических моделей, подразумевает, что подъем уровня моря к 2100 году составит две трети метра. Это на 7 см больше, чем ранее предсказывала Межправительственная группа экспертов по изменению климата (IPCC). Около 400 млн человек будет ежегодно подвергаться риску наводнений, что на 10 % больше, чем 360 млн человек, предсказанные IPCC. Кроме того, подъем уровня моря усиливает штормовой нагон волны, что может нанести дополнительный ущерб прибрежным регионам. В 1990-е годы Гренландия ежегодно теряла по 33 млрд тонн льда. За последние 10 лет этот показатель увеличился до 254 млрд тонн в год, а всего с 1992 года потеряно уже 3,8 трлн тонн льда. Примерно половина этих потерь вызвана ускорением сползания ледников и отламыванием от них айсбергов на границе с океаном. Вторая половина обусловлена таянием льда, в основном на поверхности. Так что физика талых прудов сегодня приобретает жизненно важное значение для каждого из нас.
Если находку Изинга удастся уточнить, то все связанные с ней идеи можно будет применить к талым прудам. Особенно связь с фрактальной геометрией, которая позволяет глубже заглянуть в сложную геометрию талых прудов. Кроме того, история Изинга
