и таяния Арктики – это чудесный пример непостижимой эффективности математики. Кто мог бы предсказать столетие назад, что модель Ленца, относящаяся к ферромагнитному фазовому переходу, может иметь что-то общее с изменением климата и грядущим исчезновением полярных ледяных шапок?
Топологические свойства устойчивы. Число компонентов или отверстий – не та характеристика, которая должна меняться при небольшой ошибке в измерениях. Это принципиально важно для практического применения.
РОБЕРТ ГРИСТ.
Элементарная прикладная топология
Топология – одна из гибких разновидностей геометрии – первоначально представляла собой в высшей степени абстрактную часть чистой математики. Большинство из тех, кто хотя бы слышал о ней, по-прежнему так считает, но ситуация потихоньку начинает меняться. То, что может существовать нечто под названием «прикладная топология», на первый взгляд кажется невероятным. Это как учить свинью петь: замечательным результатом было бы не то, что свинья поет хорошо, а уже то, что она вообще поет. Такая оценка справедлива в отношении свиней, но совершенно несправедлива в отношении топологии. Сегодня, в XXI веке, прикладная топология несется вперед на всех парах и решает важные задачи в реальном мире. На самом деле это незаметно происходит уже не первый день, но сейчас процесс достиг такой стадии, когда прикладную топологию уже можно вполне обоснованно считать новой отраслью прикладной математики. И речь идет не о случайных применениях каких-то аспектов топологии: ее применения едва ли не повсеместны, а используемые топологические инструменты охватывают значительную часть предмета, включая самые хитроумные и абстрактные моменты. Косы. Комплексы Вьеториса – Рипса. Векторные поля. Гомология. Когомология. Гомотопия. Теория Морса. Индекс Лефшеца. Расслоенные пространства. Пучки. Категории. Копределы.
На это есть причина: единство. Сама топология тоже выросла, всего за столетие с небольшим, из кучки небольших диковинок до полностью интегрированной области исследований и знаний. Сегодня это одна из главных опор, на которых зиждется вся математика. А везде, куда приходит чистая математика, появляется и прикладная математика. Со временем. (Обратный процесс тоже случается.)
Топология изучает, как изменяются фигуры под действием непрерывных преобразований и, в частности, какие свойства они при этом сохраняют. Знакомые примеры топологических структур – лента Мёбиуса, то есть односторонняя поверхность, и узлы. На протяжении почти 80 лет математики изучали топологию из природного любопытства и не думали ни о каком практическом применении. Предмет становился все более абстрактным, появлялись заумные алгебраические структуры, получившие название гомологии и когомологии, чтобы делать такие вещи, как подсчет числа отверстий в топологической фигуре. Все это казалось очень невразумительным и не имело значения для практики.
Однако математики не теряли присутствия духа и продолжали работать над топологией из-за ее центральной роли в развитом математическом мышлении. Компьютеры становились все более мощными, и математики начали искать способы электронного воплощения топологических концепций, которое позволило бы исследовать очень сложные формы. Но, чтобы компьютеры получили возможность производить нужные вычисления, исследователям пришлось изменить подход к вопросу. Результат, известный как «постоянная гомология», – это цифровой метод поиска отверстий.
Вверху слева: цилиндр. Вверху справа: лента Мёбиуса.
Внизу слева: тор. Внизу справа: бутылка Клейна
На первый взгляд, задача распознавания отверстий кажется очень далекой от реального мира. Но топология оказывается идеальным средством для решения некоторых задач, связанных с сетями датчиков охранной сигнализации. Представьте себе секретное правительственное учреждение, окруженное лесом и неизменно привлекающее к себе внимание террористов и воров. Чтобы вовремя заметить их приближение, вы размещаете в лесу датчики движения. Как эффективнее всего это сделать и как убедиться, что в кордоне нет дыр, через которые плохие парни смогут пройти незамеченными?
Дыры? То есть отверстия? Конечно! Зовите тополога.
* * *
Когда вы впервые знакомитесь с топологией, вам обычно рассказывают о базовых формах. Они кажутся очень простыми и странными маленькими игрушками. Одни из них причудливы, другие откровенно жутковаты. Но эти причуды имеют смысл. Как однажды сказал великий математик Гильберт, «искусство математики состоит в нахождении того частного случая, который содержит все зародыши общности». Стоит выбрать правильную игрушку, и перед вами откроются совершенно неизведанные области.
Первые две игрушки на рисунке можно сделать, взяв полоску бумаги и соединив ее концы. Очевидный способ сделать это дает нам цилиндрическую полоску. Менее очевидный состоит в предварительном перекручивании одного конца на 180°. Это лента Мёбиуса, названная в честь Августа Мёбиуса, наткнувшегося на такую забавную штуку в 1858 году, хотя еще до этого ее заметил ученик Гаусса Иоганн Листинг. Именно Листинг в 1847 году первым пустил в оборот название «топология», но прозорливо подталкивал его к этому зарождающемуся предмету с самого начала не кто иной, как Гаусс.
У цилиндра имеются два края, каждый из которых представляет собой окружность, и две стороны, или поверхности. Можно раскрасить цилиндр внутри в красный цвет, а снаружи в синий, и эти два цвета нигде не встретятся. В топологии значение имеют те свойства фигур, которые сохраняются при непрерывной деформации фигуры. Вы можете растягивать ее части, сжимать их или скручивать, но не имеете права разрезать или рвать – разве что позже соедините все как было. Одинаковая всюду ширина цилиндрической ленты на рисунке не является ее топологическим свойством: ширину можно изменить путем непрерывной деформации. Округлость краев тоже не топологическое свойство, по аналогичным причинам. Но само наличие двух краев и двух сторон – топологические свойства.
Фигуры, которые считаются идентичными при деформации, имеют особое название: мы называем их топологическими пространствами. Настоящее определение звучит в высшей степени абстрактно и заумно, так что я буду пользоваться более неформальными изобразительными средствами. Однако все, что я говорю, может быть сформулировано точно и надлежащим образом доказано.
Мы можем использовать эти топологические свойства для доказательства того, что цилиндр невозможно непрерывной деформацией превратить в ленту Мёбиуса. Хотя то и другое получается в результате склеивания концов бумажной полоски, это разные топологические пространства. Причина в том, что у ленты Мёбиуса всего один край и одна сторона. Если провести по краю бумажной ленты пальцем, то палец сделает два оборота, прежде чем вернется в исходную точку. При этом он благодаря перекручиванию на 180° перейдет сверху вниз и обратно. Если вы начнете закрашивать поверхность красной краской, то сделаете полный оборот и обнаружите, что закрашиваете оборот той части бумаги, которую уже окрасили, опять же благодаря перекручиванию на 180°. Так что лента Мёбиуса имеет другие топологические свойства по сравнению с цилиндром.
Фигура внизу слева похожа на бублик. Математики называют такую фигуру тором, имея в виду только поверхность, но не внутреннюю часть, где у бублика находится мякиш. В этом тор больше
