F верно:
1) пустое множество принадлежит F: ∅ ∈ F;
2) если множество A ∈ F, то и его дополнение XA ∈ F;
3) если A и B ∈ F, то их объединение A∪B ∈ F.
Из этого определения следует, что пересечение множеств A и B принадлежит F, а также то, что объединение или пересечение любого конечного числа множеств принадлежит F. Говорят, что алгебра замкнута относительно конечного объединения и пересечения.
Набор подмножеств F называется сигма-алгеброй, если вместо 3) потребовать более сильное условие: чтобы объединение счетного числа множеств Ai принадлежало F: если Ai ∈ F, то ∪iAi ∈ F.
Из этого определения следует, что и пересечение счетного числа множеств принадлежит F. Иными словами, сигма-алгебра замкнута относительно счетного объединения и пересечения.
Пусть F — алгебра множеств. Функция μ, сопоставляющая любому множеству A∈F какое-нибудь неотрицательное число, называется мерой, если:
1) мера пустого множества равна 0: μ(∅) = 0;
2) для любых непересекающихся множеств A, B ∈ F, то есть A ∩ B = ∅, верно μ(A∪B) = μ(A) + μ(B). Такое свойство называется аддитивностью.
Если же взять F — сигма-алгебру, а во втором условии взять счетное количество непересекающихся множеств, то получится более сильное условие μ(∪iAi) = Σiμ(Ai), которое называется сигма-аддитивностью. Такая мера называется сигма-аддитивной.
Из определения меры следуют такие свойства:
1) если A включается в B, то мера A не больше, чем у B: если A⊆B, то μ(A) ≤ μ(B);
2) если A включается в B, то мера разности множеств равна разности мер: если A⊆B, то μ(BA) = μ(B) — μ(A);
3) для любых A и B верно μ(A∪B)= μ(A)+ μ(B) − μ(A∩B).
Знакомые каждому примеры мер — количества (количество яблок в мешке, например), а также длины, площади, объемы фигур.
Количество элементов — так называемая считающая мера. Каждому подмножеству A поставим в соответствие количество элементов в нем: для конечных A положим μ(A) = |A|, а для бесконечных — μ(A) = ∞.
Длина на прямой, площадь на плоскости, объем в пространстве — тоже мера. Во всех случаях условие аддитивности выполняется.
Всякая ли неотрицательная числовая функция может быть мерой? Вовсе нет. Например, возраст ставит человеку в соответствие вполне определенное положительное число. Но он не подходит под определение меры. Предположение о том, что возраст может быть таковой, приводит к забавным парадоксам. Представьте себе кошку, которой пять лет. Естественно, что и правой, и левой половине животного тоже по пять лет, ведь они возникли одновременно. Если бы возраст был мерой, как, например, кошкин вес, то, согласно свойству аддитивности, кошке как сумме ее половинок должно быть уже десять лет. Подобное деление, впрочем, можно продолжить и достичь сколь угодно большого возраста. С другой стороны, мера части не может превосходить меры целого. Иначе говоря, хвост должен быть строго моложе кошки, а шерстинки на хвосте, соответственно, еще моложе. Так мы приходим к выводу, что мельчайшие клетки, из которых состоит пятилетняя кошка, должны были появиться на свет практически только что. Подобные рассуждения можно применить к таким измеримым величинам, как температура или скорость, которые не являются мерами. Два человека бегут не вдвое быстрее одного. По этому поводу в книге Артура Блоха был сформулирован закон новшества.
Если вы хотите, чтобы команда выиграла прыжки в высоту, найдите одного человека, который может прыгнуть на семь футов, а не семь человек, прыгающих на один фут.
В свою очередь, импульс (количество движения) или энергия уже обладают свойствами меры. Вес, количество денег, объем знаний, громкость (амплитуда) крика — хоть и не всегда легко измеримы, но тоже могут служить мерой на множестве людей.
Но вернемся к вероятностям. На интуитивном уровне с этим понятием знакомы сейчас практически все. Ее оценивают политологи и журналисты на ток-шоу, ее обсуждают, говоря о глобальном потеплении или завтрашнем дожде, о ней рассказывают анекдоты: «Какова вероятность встретить на Тверском бульваре живого динозавра? — Одна вторая: или встречу, или нет».
Широко распространено понимание вероятности как частоты, с которой могут происходить события при многократных испытаниях или наблюдениях. Это представление согласуется с нашим повседневным опытом, но оставляет ряд сложных вопросов. Например, когда байесовский спам-фильтр выдает следующий результат: «Вероятность того, что сообщение „Заработать в интернете может любой! Жми! Узнай как!“ — спам, составляет 82 %», с частотой чего это можно связать? Если протестировать сообщение несколько раз, ничего не изменится; можете переставить слова, но результат останется тем же, а при изменении текста сообщения мы переходим к другой задаче. О какой же вероятности речь? Другой пример. Камчатские сейсмологи каждый год публикуют прогноз сейсмической опасности — вероятности сильного землетрясения в ближайшее время. Однако и здесь неясно, можно ли дать частотное толкование такого прогноза. В главе 6 мы разберемся с этим примером, а сейчас приведем определение вероятности, данное замечательным русским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1930-е. Оно может показаться далеким от интуитивного представления и чересчур сложным. Но интуиция — неважный помощник в рассуждениях на такую абстрактную тему, как вероятность. Сформулированное Колмогоровым определение — надежный и универсальный инструмент, применимый к очень широкому кругу задач. В следующих главах мы будем неоднократно обращаться к нему, вырабатывая правильную интуицию у читателя.
Современная теория вероятностей базируется на понятии вероятностного пространства. Его определение потребует ввести несколько новых терминов.
Элементарное событие — результат какого-либо эксперимента или наблюдения за системой, имеющей случайное поведение. При этом один эксперимент порождает ровно одно событие. Например: «выпадение тройки при бросании игральной кости», «наблюдение интервала в 7 минут между автомобилями в дорожном потоке».
Множество всех таких событий называют пространством элементарных событий. Ну что же, мы теперь готовы познакомиться с тем, как в математике определяется вероятность.
Вероятностным пространством называется тройка, включающая пространство элементарных событий Ω, сигма-алгебру его подмножеств F и функцию P, называемую вероятностью, которая каждому элементу из F ставит в соответствие неотрицательное число, причем:
1) P(∅) = 0;
2) P(Ω) = 1;
3) функция P сигма-аддитивна, то есть вероятность счетного объединения непересекающихся событий равна сумме их вероятностей: P(∪iAi) = ΣiP(Ai).
Как видите, вероятность — сигма-аддитивная мера
