,
а
,
где Ai, j, Bi, C, F, f — заданные функции, задача (4), (5) называется первой краевой задаей Дирихле. Если же
,
где ai, i = 1,..., n, f — заданные функции, то задача (4), (5) называется задачей наклонной (косой) производной. В частности, когда вектор (a1,..., an) совпадает с конормалью к S, задача наклонной производной носит название второй краевой задачи, или задачи Неймана. Задача Дирихле (Неймана) называется однородной, если
F (x) = 0, f (y) = 0.
Задачи Дирихле и Неймана хорошо исследованы в ограниченных областях с достаточно гладкой границей в случае равномерной эллиптичности оператора D с действительными коэффициентами, т. е. при соблюдении условий
, x Î G S (6)
где l1,..., ln — произвольные действительные параметры, а k0 и k1 — фиксированные отличные от нуля числа одинакового знака.
При требовании достаточной гладкости коэффициентов операторов D и В и равномерной эллиптичности оператора D справедливы следующие утверждения: 1) число k линейно независимых решений однородной задачи Дирихле (Неймана) конечно; 2) для разрешимости задачи Дирихле (Неймана) необходимо и достаточно, чтобы функции F (x) и f (y) были подчинены дополнительным ограничениям типа условий ортогональности, число которых равно k; 3) при соблюдении условия
С (x) £ 0, x Î G,
задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение; 4) в области G достаточно малого диаметра задача Дирихле всегда имеет и притом единственное решение и 5) при однозначной разрешимости задачи Дирихле (Неймана) малое изменение краевых данных вызывает малое изменение решения (т. е. решение устойчиво).
Когда D представляет собой оператор Лапласа , решение задачи Дирихле в ограниченной области с достаточно гладкой границей всегда существует и единственно, причём для некоторых областей частного вида оно выписывается в явном виде. Так, например, при n = 1 в интервале —1 < х < 1 это решение имеет вид
u (х) = ,
где f1= u (—1), f2 = u (1), а при n = 2 и n = 3, соответственно, в круге |x| < 1 и шаре |x| < 1
,
,
где |х—у| — расстояние между точками х и у. Линейную К. з. называют фредгольмовой, если для неё имеют место сформулированные выше утверждения 1) — 5).
В К. з. для эллиптических уравнений обычно предполагается, что носителем краевого условия является вся граница S области G.
Если условие (6) равномерной эллиптичности не удовлетворено, но оператор D является эллиптическим в том смысле, что квадратичная форма в области D положительно (или отрицательно) определена, то иногда для сохранения фредгольмовости К. з. вполне определённую часть границы S области G следует освободить от краевых данных.
Линейная К. з. даже при требовании равномерной эллиптичности дифференциального оператора D, вообще говоря, не является фредгольмовой. В частности, задача наклонной производной может не оказаться фредгольмовой, если вектор (a1..., an) в некоторых точках границы S лежит в касательной к S плоскости.
Когда дифференциальный оператор D не является эллиптическим, К. з. (4), (5) может вовсе не иметь содержательного смысла, если часть границы S области G не освободить от краевых данных и на структуру носителя краевых данных не наложить определённые (порой весьма сильные) ограничения. Так, например, уравнение теплопроводности
,
являющееся типичным представителем уравнений параболического типа, в квадрате, ограниченном прямыми: x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x2 = 1, имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым условиям:
u (0, x2) = f (x2), 0 £ x2 £ 1
u (x1,0) = j(x1), 0 £ x1 £ 1
u (1, x2) = y(x2), 0 £ x2 £ 1
f (0) = j(0), y(0) = j(1)
при произвольных достаточно гладких данных f, j. y. Следовательно, краевое условие u (x1,1) = q(x1), 0 £ x1 £ 1, уже нельзя задавать произвольно. Точно так же рассмотренное выше простейшее уравнение гиперболического типа (1) в квадрате, ограниченном прямыми: x1 + x2 = 0, x1 - x2 = 0, x1 + x2 = 1, x1 - x2 = —1, имеет единственное решение u (x1, x2), удовлетворяющее краевым условиям:
u (x1, x1) = f (x1), 0 £ x1 £ 1/2
u (x1,-x1) = j(x1), —1/2 £ x1 £ 0
f (0) = j(0)
при произвольных достаточно гладких данных f и j. Очевидно, что в рассмотренном случае краевые значения u (x1,1+x1), —1/2 £ x1 £ 0, и u (х1, 1-x1), 0 £ x1 £ 1/2, не могут быть заданы произвольно.
Особо ставятся К. з., когда в разных частях рассматриваемой области G дифференциальный оператор D принадлежит различным (эллиптическим, гиперболическим и параболическим) типам [т. е. когда уравнение (4) является уравнением смешанного типа].
Для исследования К. з. широко используются методы интегральных уравнений (потенциала), априорных оценок и конечных разностей.
Лит.: Бернштеин С. Н., Собр. соч., т. 3, [М.], 1960; Бицадзе А. В., Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка, М., 1966; Векуа И. Н., Новые методы решения эллиптических уравнений, М.— Л., 1948; Владимиров В. С., Уравнения математической физики, М., 1967; Мусхелишвили Н. И., Сингулярные интегральные уравнения, 3 изд., М., 1968; Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Соболев С. Л., Некоторые применения функционального анализа в математической физике, Новосибирск, 1962; Тихонов А. Н., Самарский Д. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966.
А. В. Бицадзе.
Кра'жа, в уголовном праве тайное похищение имущества. Тайный способ изъятия имущества, предполагающий наличие у преступника уверенности, что он действует незаметно для потерпевшего и др. лиц, отличает К. от грабежа и разбоя. В СССР УК союзных республик устанавливают раздельную ответственность за К. с целью завладения государственным или общественным имуществом и за К. с целью завладения личным имуществом (например, УК РСФСР, ст. ст. 89 и 144). За К. государственного или общественного имущества установлено более строгое наказание, чем за К. личного имущества. Ответственность за К. государственного или общественного имущества в особо крупных размерах и за мелкую К. этого же имущества предусмотрена специальными нормами (например, ст. ст. 931 и 96 УК РСФСР). К обстоятельствам, отягощающим ответственность за К., закон относит: совершение К. повторно; по предварительному сговору группой лиц; с применением технических средств (только в УК РСФСР, Грузинской ССР и Таджикской ССР); причинение значительного ущерба потерпевшему (при К. личного имущества). Особо отягчающими обстоятельствами являются совершение К. особо опасным рецидивистом или в крупных размерах (при К. государственного или общественного имущества).
Кра'инка, бальнеологический и грязевой курорт в Суворовском районе Тульской области РСФСР. Расположен в 107 км к З. от Тулы, на левом высоком берегу р. Черепеть. Лето тёплое (средняя температура июля 18 °С), зима умеренно мягкая (средняя температура января —10 °С); осадков около 550 мм в год. Лечебные средства: сульфатные, кальциевые и сульфатные кальциево-магниевые воды, выходящие на поверхность у берега реки и применяемые для ванн и питья, а также торф, залегающий в пойме р. Черепеть. Лечение больных с болезнями органов движения и опоры, пищеварения, нервной системы, гинекологических. Санаторий, водогрязелечебница, аэросолярий.
