Косвенный метод наименьших квадратов используется для получения оценок неизвестных коэффициентов системы одновременных уравнений, удовлетворяющих свойствам эффективности, несмещённости и состоятельности.
Косвенный метод наименьших квадратов применяется только в том случае, если структурная форма системы одновременных уравнений является точно идентифицированной.
Алгоритм метода наименьших квадратов реализуется в три этапа:
1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма, все параметры которой выражены через структурные коэффициенты;
2) приведённые коэффициенты каждого уравнения оцениваются обычным методом наименьших квадратов;
3) на основе оценок приведённых коэффициентов системы одновременных уравнений определяются оценки структурных коэффициентов через приведённые уравнения.
Рассмотрим применение косвенного метода наименьших квадратов на примере структурной формы модели спроса и предложения:
Было доказано, что структурная форма модели спроса и предложения является точно идентифицированной, поэтому для определения оценок неизвестных параметров данной модели можно применить косвенный метод наименьших квадратов.
1) запишем приведённую форму модели спроса и предложения:
2) определим оценки коэффициентов приведённой формы модели спроса и предложения с помощью обычного метода наименьших квадратов. Тогда система нормальных уравнений для определения коэффициентов первого уравнения приведённой формы модели будет иметь вид:
Система нормальных уравнений для определения коэффициентов второго уравнения приведённой формы модели записывается аналогично. Решением данных систем нормальных уравнений будут численные оценки приведённых коэффициентов A1,A2,A3 и B1,B2,B3;
Для определения по оценкам приведённых коэффициентов получить оценки структурных коэффициентов первого уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную It и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели. Для определения оценок структурных коэффициентов второго уравнения, необходимо из второго приведённого уравнения выразить переменную Pt–1 и подставить полученное выражение в первое уравнение приведённой формы модели.
91. Метод инструментальных переменных
Метод инструментальных переменных основан на критике М. Фридменом оценивания кейнсианской функции потребления.
Общий вид функции потребления:
Cit=a+βyit+εit, (1)
где Сit– объём потребления i-го домашнего хозяйства в t-ом году;
yit – объём доходов i-го домашнего хозяйства в t-ом году;
β – коэффициент предельной склонности к потреблению (0< β<1);
a – коэффициент автономного потребления;
εit – независимая случайная составляющая модели.
В соответствии с кейнсианской трактовкой модели потребления, коэффициент автономного потребления а равен нулю.
К основным недостаткам модели потребления можно отнести:
1) оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии, рассчитанные традиционным методом наименьших квадратов, изменяются год от года;
2) в ходе экспериментов было доказано, что оценка коэффициента β для фермерских хозяйств ниже, чем для городского населения.
М. Фридмен показал невозможность применения традиционного метода наименьших квадратов для оценивания неизвестных коэффициентов модели регрессии (1) с помощью теории постоянных доходов.
Предположим, что справедливы следующие равенства:
Т – это индекс, означающий непостоянство (transitory) переменных.
Пусть переменные дохода yit и потребления Сit– этослучайные величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсиями
соответственно, т. е.
По Фридмену переменные дохода и потребления связаны отношением вида:
Задача состоит в определении значимости функции потребления (2) при значимости функции потребления (1).
Представим функцию потребления (2) в виде равенства:
Тогда потребление можно представить следующим образом:
Обозначим выражение
как uit. Тогда функция потребления (2) примет вид:
Cit=a+βyit+uit.
В модели потребления (1) величина εit, является независимой случайной составляющей, а в модели потребления (2) величина uit коррелируют с βyit, следовательно, нарушается первая предпосылка нормальной модели регрессии.
Рассчитаем показатель ковариации между переменной yit и uit:
Оценка коэффициента β в модели потребления (1), полученная традиционным методом наименьших квадратов, равна выражению:
Следовательно, традиционный метод наименьших квадратов будет всегда давать заниженные оценки параметров, поэтому им пользоваться нельзя.
М. Фридмен предложил новый метод для оценки неизвестных коэффициентов подобных функций, названный им методом инструментальных переменных (Instrumental Variables – IV).
Суть метода инструментальных переменных заключается в следующем. Переменная yit из правой части уравнения, для которой нарушается первая предпосылка нормальной модели регрессии, заменяется на новую переменную, называемую инструментом:
В результате получим, что случайная ошибка uit и переменная yit между собой не коррелируют, но коррелируют с новой переменной
которая называется инструментом. Индекс y' означает, что переменная дохода относится к следующему году.
Оценка неизвестного коэффициента β, полученная методом инструментальных переменных, выглядит следующим образом:
В общем случае инструментальная переменная z должна удовлетворять двум свойствам:
1) она должна тесно коррелировать с зависимой переменной у: cov(y,z)≠0;
2) она не должна коррелировать со случайной ошибкой εt: cov(z,ε)=0.
Для модели множественной регрессии оценки неизвестных параметров модели рассчитываются по формуле:
92. Двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК)
Уравнение называется сверхидентифицированным, если по оценкам коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений можно получить более одного значения для коэффициентов структурной формы системы одновременных уравнений.
Оценки неизвестных параметров сверхидентифицированного уравнения нельзя рассчитать традиционным и косвенным методом наименьших квадратов. В данном случае для определения неизвестных оценок используется двухшаговый метод наименьших квадратов.
Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуетсяв четыре этапа:
1) на основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется её приведённая форма;
2) оценки неизвестных коэффициентов приведённой формы системы одновременных уравнений рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов;
3) рассчитываются значения эндогенных переменных, выступающих в качестве факторных в сверхидентифицированном уравнении;
4) все структурные коэффициенты уравнений системы рассчитываются традиционным методом наименьших квадратов через предопределённые переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.
Как видно из описания данного алгоритма, традиционный метод наименьших квадратов применяется два раза (для определения оценок эндогенных переменных приведённой формы и для определения оценок структурных параметров уравнений системы), поэтому и получил название двухшагового.
Различают две разновидности моделей, чьи структурные формы содержат сверхидентифицированные уравнения:
1) в модель помимо сверхидентифицированного уравнения также входят точно идентифицированные уравнения;
2) все уравнения модели являются сверхидентифицированными.
Для моделей первого типа оценки структурных коэффициентов точно идентифицированного уравнения определяются на основании системы приведённых уравнений.
Для моделей второго типа оценки структурных коэффициентов системы определяются с помощью двухшагового метода наименьших квадратов.
Если все уравнения системы точно идентифицированы, то оценки структурных коэффициентов, полученные косвенным методом наименьших квадратов и оценки, полученные двухшаговым методом наименьших квадратов будут одинаковыми.
