Промежуточным мультипликатором называется произведение коэффициентов модели авторегрессии (β1*δ1).
Промежуточный мультипликатор отражает общее абсолютное изменение результативной переменной у в момент времени (t+1).
Определение. Долгосрочным мультипликатором называется показатель, рассчитываемый как
Долгосрочный мультипликатор отражает общее абсолютное изменение результативной переменной у в долгосрочном периоде.
Если для модели авторегрессии выполняется условие |δ|<1, то при наличии бесконечного лага будет справедливым равенство:
В нормальной линейной модели регрессии все факторные переменные не зависят от случайной ошибки модели. Данное условие для моделей авторегрессии нарушается, потому что переменная yt-1 частично зависит от случайной ошибки модели εt. Следовательно, при оценке неизвестных коэффициентов традиционным методом наименьших квадратов ы получим смещённую оценку коэффициента при переменной yt–1.
При определении оценок неизвестных коэффициентов модели авторегрессии используется метод инструментальных переменных (IV – Instrumental variables).
Суть метода инструментальных переменных заключается в том, что переменная yt–1, для которой нарушается предпосылка применения метода наименьших квадратов, заменяется на новую переменную z, удовлетворяющую двум требованиям:
1) данная переменная должна тесно коррелировать с переменной yt–1: cov(yt–1,z)≠0;
2) данная переменная не должна коррелировать со случайной ошибкой модели εt: cov(z,ε)=0.
Предположим, что на основании собранных данных была построена модель авторегрессии вида:
yt=β0+β1xt+δ1yt–1+εt.
Рассчитаем оценки неизвестных коэффициентов данной модели с помощью метода инструментальных переменных.
В данной модели авторегрессии переменная yt коррелирует с переменной xt, следовательно, переменная yt–1 зависит от переменной xt–1. Охарактеризуем данную корреляционную зависимость с помощью парной модели регрессии вида:
yt–1=k0+k1xt–1+ut,
где k0 ,k1 – неизвестные коэффициенты модели регрессии;
ut – случайная ошибка модели регрессии.
Обозначим выражение k0+k1xt–1 через переменную zt–1. Тогда модель регрессии для переменной yt–1 примет вид:
yt–1= zt–1+ut.
Новая переменная zt–1 удовлетворяет свойствам, предъявляемым к инструментальным переменным:
1) она тесно коррелирует с переменной yt–1: cov(zt–1,yt–1)≠0;
2) она коррелирует со случайной ошибкой исходной модели авторегрессии εt: cov(εt, zt–1).
Таким образом, исходная модель авторегрессии может быть представлена следующим образом:
yt=β0+β1xt+δ1(k0+k1xt–1+ut)+εt= β0+β1xt+δ1 zt–1+νt,
где νt= δ1 ut+ εt.
На следующем этапе оценки неизвестных коэффициентов преобразованной модели рассчитываются с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Эти оценки будут являться оценками неизвестных коэффициентов исходной модели авторегрессии.
96. Модели с распределённым лагом
Моделью с распределённым лагом называется динамическая эконометрическая модель, в которую включены не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных.
С помощью модели с распределённым лагом можно охарактеризовать влияние изменения факторной переменной х на дальнейшее изменение результативной переменной у, т. е. изменение х в момент времени t будет оказывать влияние на значение переменной у в течение L следующих моментов времени.
Пример модели с распределённым лагом:
yt=β0+β1xt+β2xt–1+…+βLxt–L+εt.
Краткосрочным мультипликатором называется коэффициент β1 модели с распределённым лагом
Краткосрочный мультипликатор характеризует среднее абсолютное изменение переменной yt при изменении переменной xt на единицу своего измерения в конкретный момент времени t при элиминировании влияния лаговых значений переменной х.
Коэффициент β2 модели с распределённым лагом характеризует среднее абсолютное изменение переменной yt в результате изменения переменной х на единицу своего измерения в момент времени t–1.
Промежуточным мультипликатором называется сумма коэффициентов β1и β2 модели с распределённым лагом.
Промежуточный мультипликатор характеризует совокупное влияние факторной переменной х на переменную у в момент времени (t+1). Таким образом, изменение переменной х на единицу в момент времени t вызывает изменение переменной у на β1 единиц в момент времени t и изменение переменной у на β2 в момент времени (t+1).
Средним лагом называется средний период времени, в течение которого будет происходить изменение результативной переменной у под влиянием изменения факторной переменной х в момент t:
Если величина среднего лага небольшая, то переменная у достаточно быстро реагирует на изменение факторной переменной х.
Если величина среднего лага большая, то факторная переменная х медленно воздействует на результативную переменную у.
Медианным лагом называется период времени, в течение которого с момента начала изменения факторной переменной х будет реализована половина её общего воздействия на результативную переменную у.
Оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом традиционным методом наименьших квадратов рассчитать нельзя по трём причинами:
1) нарушение первого условия нормальной линейной модели регрессии, т. е. наличие корреляции между текущими и лаговыми значениями факторной переменной;
2) при большой величине лага L уменьшается количество наблюдений, по которым строится модель регрессии и увеличивается число факторных переменных (xt,xt–1,xt–2,…), что в конечном результате ведёт к потере числа степеней свободы в модели;
3) наличие проблема автокорреляции остатков.
Данные причины в итоге ведут к нестабильности оценок коэффициентов регрессии, вычисленных с помощью метода наименьших квадратов.
Оценки неизвестных коэффициентов моделей с распределённым лагом рассчитывают с помощью специальных методов, чаще всего с использованием метода Алмон и метода Койка.
Для оценки неизвестных коэффициентов модели с распределённым лагом применяется метод Алмон или лаги Алмон.
Данный метод можно применять к моделям, которые характеризуются полиномиальной структурой лага и конечной величиной лага L:
yt=β0+β1xt+β2xt–1+…+βLxt–L+εt. (1)
Структура лага определяется графическим методом при отражении зависимости параметров при факторных переменных от величины лага.
Алгоритм метода Алмон реализуется в несколько этапов:
Суть метода Алмон состоит в следующем:
1) зависимость коэффициентов при факторных переменных βi от величины лага i аппроксимируется полиномиальной функцией:
а) первого порядка βi=c0+c1*i
б) второго порядка
в) третьего порядка
г) в общем случае полиномиальной функцией порядка P:
Алмон доказал, рассчитать оценки коэффициентов
намного проще, чем найти оценки непосредственно коэффициентов βi. Подобный метод оценивания коэффициентов βi называется полиномиальной аппроксимацией.
2) каждый коэффициент модели (1) можно выразить следующим образом:
β1=c0;
β2=c0+c1+…+cP;
β3=c0+2c1+4c2+…+2PcP;
β4=c0+3c1+9c2+…+3PcP;
…
βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP.
Подставим полученные выражения для коэффициентов βi в модель (1):
yt=β0+c0xt+( c0+c1+…+cP)xt–1+…+( βL=c0+Lc1+L2c2+…+LPcP)xt–L+εt.
3) в полученном выражении перегруппируем слагаемые:
Обозначим слагаемые в скобках при коэффициентах
как новые переменные:
С учётом новых переменных модель примет вид:
yt=β0+c0z0+c1z1+…+cPzP+εt. (2)
4) оценки неизвестных коэффициентов модели (2) можно рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов. Далее на основе полученных оценок коэффициентов
