93. Спецификация и приведенная форма эконометрических моделей в виде системы одновременных уравнений. Эконометрическая модель Самуэльсона-Хикса делового цикла экономики
Определение явного вида эконометрической модели называется спецификацией эконометрической модели.
При спецификации эконометрических моделей принято учитывать четыре принципа:
1) эконометрические утверждения и закономерности должны быть переведены на математический язык;
2) количество уравнений в модели должно быть равно числу эндогенных переменных;
3) переменные должны быть датированы;
4) в модель должен быть включён параметр случайной ошибки, чтобы охарактеризовать влияние случайных факторов.
Существуют следующие формы спецификации моделей:
1) структурная форма модели, когда эндогенные переменные не выражены явно через предопределенные переменные;
2) приведенная форма модели, когда эндогенные переменные представляют собой явно выраженные функции от предопределенных переменных.
Экономическим объектом в эконометрической модели Самуэльсона-Хикса является закрытая экономика.
Состояние закрытой экономики в текущем периоде t характеризуется переменными (Yt, Ct, It, Gt),
где Yt – валовой внутренний продукт (ВВП);
Ct – уровень потребления;
It – величина инвестиций;
Gt – государственные расходы.
При составлении спецификации модели Самуэльса-Хикса необходимо учесть следующие экономические утверждения:
1) текущее потребление объясняется уровнем валового внутреннего продукта в предыдущем периоде, увеличиваясь одновременно с ним, но с меньшей скоростью;
2) величина инвестиций прямо пропорциональна приросту валового внутреннего продукта за предшествующий период (прирост ВВП за предшествующий период определяется как разность Yt-lи Yt-2);
3) государственные расходы возрастают с постоянным темпом роста;
4) текущее значение валового внутреннего продукта представляет собой сумму текущих уровней потребления, инвестиций и государственных расходов (тождество системы национальных счетов).
Если вышеперечисленные экономические утверждения перевести на математический язык, то мы придём к спецификации модели вида (1):
Ct=a0+a1Yt–1,
It=b*(Yt–1–Yt-2),
Gt=g*Gt–1,
Yt=Ct+It+Gt,
при ограничениях:
0<a1<1,
b>0,
g>0.
Спецификация (1) модели близка к приведённой форме: текущие переменные Ct, It и Gt являются явными функциями предопределен–ных переменных, а переменную Yt можно сделать явной функцией путём подстановки правых частей первых трёх уравнений в правую часть четвёртого уравнения.
В итоге получим приведённую форму (2) модели Самуэльсона-Хикса:
Ct=a0+a1Yt–1,
It=b*(Yt–1–Yt-2),
Gt=g*Gt–1,
Yt=a0+a1Yt–1– b*(Yt–1–Yt-2)+g*Gt–1,
при ограничениях:
0<a1<1,
b>0,
g>0.
Основное отличие эконометрических моделей от других видов моделей заключается в обязательном включении в модель случайной ошибки.
Случайная ошибка характеризуется следующими свойствами:
1) математическое ожидание случайной ошибки при всех значениях эндогенной переменной равно нулю;
2) дисперсии случайной ошибки удовлетворяют свойству гомоскедастичности, т. е. постоянства дисперсий.
Запишем спецификацию модели вида (1) с учётом случайной ошибки:
Ct=a0+a1Yt–1, (3)
It=b*(Yt–1–Yt-2),
Gt=g*Gt–1,
Yt=Ct+It+Gt,
при ограничениях:
0<a1<1,
b>0,
g>0,
E(ut|Yt–1)=0,
σ(ut|Yt–1)=σu,
σ(νt|Yt–1,Yt-2)=σν,
E(wt|Gt–1)=0.
С учётом первой и третьей спецификаций модели Самэльсона-Хикса, получим приведённую форму данной модели (4):
Ct=a0+a1Yt–1,
It=b*(Yt–1–Yt-),
Gt=g*Gt–1,
Yt=a0+(a1+b)Yt–1– b*Yt–2+g*Gt–1+(ut+νt+wt)
при ограничениях:
0<a1<1,
b>0,
g>0.
94. Динамические эконометрические модели
Динамической эконометрической моделью называется модель, которая в настоящий момент времени учитывает значения входящих в неё переменных, относящихся не только к текущему, но и к предыдущему моментам времени.
В качестве примера динамических эконометрических моделей можно привести модели вида:
yt=f(xt,xt–l),
yt=f(xt,yt–l).
Модель регрессии вида:
yt=f(x1…xn)=f(xi)не относится к динамическим эконометрическим моделям.
1) Динамические эконометрические модели делятся на два основных типа:
2) динамические модели, в которых значения переменных, относящихся к прошлым моментам времени (лаговые значения), включены в модель с текущими значениями этих переменных. К таким моделям относятся:
а) модель авторегрессии;
б) модель с распределённым лагом.
Моделью авторегрессии называется динамическая эконометрическая модель, в которой в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной.
Пример модели авторегрессии:
yt=β0+β1xt+δ1yt–1+εt.
Моделью с распределённым лагом называется динамическая эконометрическая модель, в которую включены не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных.
Пример модели с распределённым лагом:
yt=β0+β1xt+β2xt–1+…+βLxt–L+εt.
где L – это величина временного лага (запаздывания) между рядами;
3) динамические модели, в которые входят переменные, отражающие предполагаемый или желаемый уровень результативной переменной или одной из факторных переменных в определённый момент времени (t+1). Величина желаемого уровня является неизвестной и рассчитывается на основании той информации, которая имеется в наличии на предшествующий момент времени (t). В зависимости от способа расчёта желаемых переменных различают следующие виды моделей:
а) модель адаптивных ожиданий (МАО);
б) модель частичной (неполной) корректировки (МЧК)
Моделью адаптивных ожиданий называется динамическая эконометрическая модель, которая учитывает предполагаемое или желаемое значение факторной переменной
Общий вид модели адаптивных ожиданий:
Примером модели адаптивных ожиданий является модель зависимости предполагаемой в будущем периоде (t+1) индексации заработных плат и пенсий на текущие цены.
Моделью частичной (неполной) корректировки называется динамическая эконометрическая модель, которая учитывает предполагаемое (или желаемое) значение результативной переменной
Общий вид модели частичной корректировки:
Примером модели частичной корректировки является модель Литнера, которая отражает зависимость желаемого объёма дивидендов
от фактического текущего объёма прибыли xt.
Неизвестные коэффициенты динамических эконометрических моделей нельзя рассчитать с помощью традиционного метода наименьших квадратов, потому что они не будут удовлетворять свойствам несмещённости, состоятельности и эффективности.
Неизвестные коэффициенты моделей авторегрессии оцениваются с помощью метода инструментальных переменных.
Для моделей с распределённым лагом в зависимости от структуры лага для оценивания неизвестных коэффициентов применяются метод Алмон и метод Койка. Суть данных методов состоит преобразовании исходной модели с распределённым лагом к модели авторегрессии, оценки неизвестных параметров которой можно рассчитать с помощью метода инструментальных переменных.
Для определения оценок неизвестных коэффициентов модели адаптивных ожиданий и модели частичной корректировки их также преобразуют в модели авторегрессии.
Моделью авторегрессии называется динамическая эконометрическая модель, в которой в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной.
Пример модели авторегрессии:
yt=β0+β1xt+δ1yt–1+εt,
где β1 – это коэффициент, который характеризует краткосрочное изменение переменной у под влиянием изменения переменной х на единицу своего измерения;
δ1 – это коэффициент, который характеризует изменение переменной у в текущий момент времени t под влиянием своего изменения в предыдущий момент времени (t–1).
Промежуточным мультипликатором называется произведение коэффициентов модели авторегрессии (β1*δ1).
