В примере [4] описан третий закон Кеплера: куб расстояний пропорционален квадрату периодов, коэффициент пропорциональности зависит от G и массы Солнца. Однако представим, что нам неизвестны эти константы и мы хотим использовать третий закон Кеплера для того, чтобы узнать периоды планет на основе приблизительных расстояний из таблицы. Все окажется очень простым, если измерять расстояние в астрономических единицах (а.е.). Мы можем преобразовать в этих единицах предыдущую формулу: Т = d3/2 то есть если мы хотим узнать период обращения (сидерический период) планеты, нам нужно возвести расстояние в куб и извлечь квадратный корень.
Рассмотрим в качестве примера Венеру. При расстоянии до Солнца, равном 3/4 а.е., ее период составит 0,65 земного года. Для Марса при расстоянии 3/2 а.е. после использования приведенной формулы получим 1,8 земного года. Для Юпитера при d = 5 а.е. получим, что один год на Юпитере равен приблизительно 11 земным. Естественно, точность расчетов можно повысить, использовав неокругленные значения.
«НОВАЯ АСТРОНОМИЯ» (astronomia nova)
Можно считать, что этот труд Кеплера – первая современная книга по астрономии. В ней приведены два из трех законов великого ученого, причем любопытно, что второй закон идет перед первым. Третий закон, как мы писали, появился только в Harmonices mundi, следующей книге. Astronomia nova была написана в 1605 году и опубликована в 1609-м. Ее полное название звучит так: Astronomia nova seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae Martis («Новая астрономия, или Физика небес, изложенная в комментариях о движениях звезды Марс»).
Хотя в названии говорится о планете Марс, законы Кеплера справедливы для всех планет. Марс оказался в названии потому, что Браге поручил Кеплеру вычислить орбиту именно Марса. Возможно, датчанин таким образом хотел просто проверить способности своего коллеги, ведь наблюдения за четвертой планетой Солнечной системы сложнее всего поддаются интерпретации. Можно считать большой удачей, что перед Кеплером была поставлена именно эта задача, потому что Марс с его большим эксцентриситетом наилучшим образом подходил для проверки догадок ученого.
Чтобы сформулировать первые два закона, Кеплеру пришлось прибегнуть к математически сложным методам, предвосхищающим дифференциальный анализ. Формируя оригинальные гипотезы, он часто использовал как религиозные соображения, так и результаты наблюдений, однако в этом случае победило уважение Кеплера к научным данным. Эта книга – образец строгого и объективного исследования, результат упорства и точности. Конечно, читать ее довольно сложно – как и многие другие работы ученого, – поскольку Кеплер тщательно развивает как свои ошибочные посылки, предшествующие решению, так и правильные итоговые умозаключения.
Иоганн Кеплер, портрет 1610 года, автор неизвестен.
Страница из Astronomia nova (1609) на которой изображена работа Кеплера по расчету орбиты Марса. Этот рисунок иллюстрирует два его первых закона.
Страница из Harmonices mundi (1618) с музыкой, которую Кеплер считал свойственной звездам.
Итак, идеи Коперника и данные Тихо Браге наконец-то соединились. Казалось, теперь задача поддастся, однако это было не так. Погрешности при расчетах составили около 8' и хотя этот результат устроил бы любого другого астронома, Кеплер, используя данные Тихо Браге с погрешностью менее 2' требовал от себя такой же точности.
Открытие двух первых законов далось Кеплеру довольно трудно. Их сложность очевидна даже сегодня, даже если опираться на ньютоновские законы небесной механики и знать, каким должен быть результат. Кеплер использовал все более и более точные измерения, и наконец ему пришла в голову идея, что орбиты могут иметь овальную форму.
Задолго до этого западноарабский астроном Аз-Заркали (1029-1087) предположил, что орбита Меркурия имеет эллиптическую форму. Вероятно, его работу видел и Кеплер, ведь он добросовестно изучал труды астрономов других эпох, а работы Аз-Заркали цитировали в то время довольно часто. Однако точных данных об этом нет, а сам Кеплер об Аз-Заркали не упоминает.
Также Кеплер считал, что Солнце вряд ли находится в центре всех орбит (и действительно, это довольно сложно себе представить). Идея ученого была близка древнему понятию экванта – точки, не совпадающей с геометрическим центром траектории планеты, из которой ее движение выглядит равномерным. И действительно, если Солнце не занимает центр круговой орбиты, то при равномерной скорости движения по ней мы бы наблюдали с Земли переменную скорость светила.
Другая идея ученого состояла в том, что Земля должна вести себя так же, как и другие планеты, а центр ее орбиты также смещен по отношению к Солнцу.
Для каждой планеты, включая Землю, существует линия апсид, соединяющая афелий и перигелий. Получалось, что соотношение скоростей в афелии и перигелии обратно соотношению расстояний от этих точек до Солнца. Кеплер ошибочно предположил, что это свойство справедливо для всех точек орбиты, то есть что скорость планеты обратно пропорциональна расстоянию до Солнца.
КОНИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ
Эллипс с нулевым эксцентриситетом и его частный случай, окружность, являются кривыми и видом конических сечений, то есть сечений конуса плоскостью. В зависимости от взаимного расположения плоскости и конуса мы получаем эллипс, гиперболу и параболу. Эти названия были предложены Аполлонием Пергским (262-190 до н.э.), первым известным автором, изучавшим конические сечения.
Орбиты планет являются эллипсами, однако при гравитационном искривлении они могут иметь вид и других конических сечений. Когда объект приближается с большого расстояния на большой скорости, из-за воздействия гравитации его траектория искривляется. В большинстве случаев объект продолжает свое движение и удаляется в бесконечность, следуя по гиперболической траектории. Кометы длинного периода имеют такой большой эксцентриситет, что их траектория практически параболическая, то есть занимает промежуточное место между эллиптической и гиперболической. При открытых гиперболических траекториях объект и точечная масса не формируют бинарную (двойную) систему в точном значении этого слова. Звезды в галактике настолько малы по сравнению с обычным межзвездным расстоянием (7 х 108 метров по сравнению с 1017 метров), что гравитационные взаимодействия между ними крайне низки. Столкновения происходят настолько редко или они так слабы, что две сливающиеся галактики могут сохранять свои уникальные характеристики в течение значительных периодов времени. Малое количество столкновений звезда-звезда ослабило теорию о том, что Солнечная система возникла в результате столкновения двух звезд (гипотеза о катаклизме). Сегодня считается, что Солнце и планеты являются ровесниками, рожденными независимо друг от друга от одной протосолнечной туманности. Изучая гравитационное взаимодействие между двумя звездами, следует учитывать, что речь идет о траекториях, соответствующих коническим сечениям, в то время как двойные звезды двигаются по эллиптическим орбитам.
