если они составлены из равного количества элементов, и это отношение (обозначаемое равенством
a=b, имеет то свойство, что из
a=b и
b=c также следует, что
a=c» (Ibidem. S. 390).
Вводились также понятия «точных (genauen) частей единства» и конструируемого «агрегата». Изучение ФА показало, что роль понятия «единства» в математике станет одной из центральных тем этой работы Гуссерля. Например число 4/3, рассуждает Вейерштрасс, может быть показано как агрегат, т. е. через сумму слагаемых. [242] Отсюда Вейерштрасс выводит дефиницию равенства двух рациональных чисел: «Два числа равны друг другу, если одно может …может быть трансформировано так, чтобы оба они имели те же самые и только те же самые элементы и каждого в отдельности содержалось бы в том же самом целом числе» (Цит. по J. Diendonné. S. 390).
В результате вводится новая разновидность числовых понятий и рождается определение реального числа: «Мы говорим, что число a имеет конечную ценность, если существует число b, большее, чем a, и составленное из многих конечных элементов Q+. На основе этого критерия Вейерштрасс смог определить нового вида число, составленное из бесконечно многих элементов, и показать, что тогда элементарные операции арифметики выводимы (ausführber) для множества R реальных чисел» (Ibidem. S. 391).
Вейерштрасса причисляют (это имеет место, например, у А. Пуанкаре) – наряду с Гауссом, Коши и Риманом – к когорте создателей современной теории аналитических функций. При этом упомянутые выдающиеся математики подходили к проблеме с разных сторон. У Коши это понятие ещё имело, согласно Пуанкаре, ограниченный выводной характер (все сводилось к проблеме определенного интеграла). У Римана, естественно, «доминировали геометрические представления, и функция давала лишь одно правило, согласно которому можно было трансформировать плоскость». [243] «Вейерштрасс, – отмечает Пуанкаре, – придерживается противоположной позиции; исходный пункт у него – потенциальный ряд, Funktionselement, который ограничивается Konvergenzkreis, чтобы функцию продолжить за пределы этого круга, мы и имеем в распоряжении метод аналитического продолжения. Таким способом все выводится из учения о рядах, и эта теория, в свою очередь опирается на прочный арифметический базис» (Ibidem. S. 135).
С вейерштрассовской теорией функций Гуссерль познакомился непосредственно на лекциях и занятиях со своим учителем. Она возникала, отрабатывалась Вейерштрассом в течение десятилетий, причем, как и все другие идеи Вейерштрасса, именно в процессе подготовки и чтения лекций. А их, как говорилось, не просто слушал, но и глубоко осваивал Э. Гуссерль.
Тема «анализа». Вейерштрасс и Гуссерль
В связи с усилиями Вейерштрасса, направленными на разработку основ «анализа», необходимо соотнести их с его (и других математиков) стремлением арифметизировать математику. Можно с уверенностью говорить о том, что книга Гуссерля, названная именно «Философией арифметики», в тематически – математическом смысле является совокупным результатом влияния именно идей и подходов его учителя Вейерштрасса. Ведь этот выдающийся математик, как его во второй половине XIX века называли многие (такое же определение дают историки математики и сегодня), прославился, в частности, тем, что он – в числе других математиков – призывал «арифметизировать» математику. При этом арифметизация должна прежде всего затронуть ту часть математики, которую именовали «анализом» (две другие главные части – это алгебра и геометрия). «“Анализ” – это и есть исчисление интегралов и дифференциалов. Собственная специализация молодого Гуссерля – это подчиненная анализу сфера-исчисление вероятности» [244] (речь идёт о начальной специализации и о первой, чисто математической диссертации, защищенной Гуссерлем у Вейерштрасса).
Говоря конкретнее и уже на современном языке, отмечают H. Eves и C. V. Newson, «классический анализ следует твердо опереть – как на основу, фундамент – на реальную систему чисел» (P. 202). Но для этого требовалось обновить, по-новому обосновать саму теорию чисел. Как раз в этом общем замысле Гуссерль, когда он стремился обосновать «философию арифметики», был горячим последователем Вейерштрасса – с тем существенным добавлением, что этот замысел он дополнил философско-математическими устремлениями. Согласно Дж. Миллеру (а он ссылается на: H. Eves and C. V. Newsom «An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of mathematics». N. Y., 1965, pp. 196 ff.), «трудно с точностью определить дисциплину, известную как “анализ”. Часто говорят, что это одна из трех главных сфер математики – две другие это алгебра и геометрия. В общем и целом анализ состоит из исчисления интегралов и дифференциалов – вместе с некоторыми другими ответвлениям математики, восходящими к этому исчислению. Собственная специализация (молодого) Гуссерля – это подчиненная сфера, исчисление вероятностей (вариаций)». [245] (Речь идёт о начальной специализации и о первой, чисто математической, диссертации Гуссерля, защищенной у Вейерштрасса.)
Что касается направленности работы Вейерштрасса, то она нередко определяется как “арифметизация анализа” (Ibidem. P. 2). Благодаря ей предполагалось прояснить темные места и нерешенные проблемы сферы анализа.
Говоря конкретнее и уже на современном языке, отмечают H. Eves и C. V. Newsom, замысел Вейерштрасса состоял в следующем: «классический анализ следует твердо опереть на реальную систему чисел как на основу, фундамент» (An Introduction… P. 202).
Но для этого надо было, конечно, привести в систему, обновить саму теорию чисел. Вот в том замысле Гуссерль, когда он создавал ФА, был последователем Вейерштрасса. Но этот замысел он дополнил философско-математическим, который, в свою очередь, состоял в попытке обоснования теории числа с выходом в сопредельные области, занятые исследованием человеческого сознания. Как именно это делалось, мы рассмотрели применительно к ФА.
Стимулы к разработке именно проблемы числа – в связи с теориями анализа – были весьма неоднозначными. С одной стороны, теория чисел относилась к сфере древнейших и важнейших проблемных разделов математического знания, причем именно в XIX веке внимание к ней неизмеримо возросло. С другой стороны, Гуссерль многократно высказывал свою неудовлетворенность тем, сколь слабо оснащена теоретически и методологически эта область, претендующая – и в принципе по праву – на фундаментальную роль в математике. В одной из своих рукописей он записал, имея в виду новые знания в области анализа: «Ни один разумный человек не сомневается в правильности их результатов, ни один естествоиспытатель или специалист в сфере техники не поколеблется использовать, где возможно, эти знания как инструмент исследования и овладения природой. И все же: просто невероятно, и однако же несомненно то, что среди основных понятий анализа нет ни одного, в отношении которого существовали бы ясность и глубокое понимание» (Ms. KI 28/32a).
«Гуссерль, – верно комментирует эту ситуацию Дж. Миллер, – никогда не сомневался, что эти понятия могут быть прояснены, а их употребление – теоретически “оправдано”; проблема состояла только в том, что это фактически сделано не было» (J.Ph. Miller, op. cit. P. 5).
Какие возможности видел здесь
