полностью обоснованным, и вот почему. Хотя проблема отношения Гуссерля к анализу введена по праву и хотя факт изменения позиции зафиксирован правильно и в соответствии с высказываниями самого Гуссерля, [247] осталось не доказанным, что следует перечеркнуть всё исследование, проведенное в ФА. Ибо ведь сам Гуссерль
уже в этой книге (ФА. S. 12
16–17) говорит о неосуществимости (Undurchführbarkeit) исследований целиком на фундаменте позиций, выработанных Вейерштрассом (что он обещает показать во II томе ФА). А значит, какие-то коррективы к более раннему толкованию уже были внесены в саму эту книгу. (Чего, впрочем, не отрицает и Дж. Миллер, хотя дает специфическое объяснение такому “курьёзному факту”: во
введении к ФА (апрель 1891 г.) Гуссерль-де уже фиксирует новую позицию, тогда как книга написана на основе прежнего понимания анализа – J. Miller, op. cit. P. 12). Здесь, по моему мнению, Миллером доказан только следующий факт: уже
после опубликования ФА (а быть может, и тогда, когда он писал Предисловие
к ранее созданной и отдаваемой в печать книге – такое ведь тоже случается с быстро развивающимися, самокритичными умами), Гуссерль четко осознал: исследования теории и понятия числа, какими бы глубокими и основательными они ни были, не могут обеспечить «окончательного философского обоснования для всех трудных проблем высшей математики» (J. Miller, op. cit. P. 12–13). Что совершенно верно.
Однако не рушится ли ценность всего исследования с утратой такой чрезмерной претензии? В этом я сомневаюсь, как сомневаюсь и в том, что решение специального математического и философско-математического вопроса об анализе, его значении, объеме, функциях было столь судьбонсным для гуссерлевской философии математики и на ранней, и на последующих стадиях её развития.
Вклад Р. Дедекинда в теорию чисел. Дедекинд и Гуссерль
В 1988 году (т. е. через год после приезда Гуссерля в Галле, а значит, к началу его интенсивных поисков собственного пути в науке) вышла из печати важная работа видного математика Р. Дедекинда «Что есть и чем должны быть числа?». Для нас существенно то, что первый набросок этой работы создавался между 1872 и 1878 годами, т. е. тогда, когда Гуссерль учился математике, интенсивно овладевая, как было показано, всем интересным и новым в этой научной области. Потому не удивительно, что на названную работу Дедекинда Гуссерль сошлется позже, в «Философии арифметики» (ФА. S. 125, 177, 192) – впрочем, в полемическом духе. Но независимо от этого, считаю важным при освещении проблематики данного раздела напомнить и о том, что идеи Р. Дедекинда, особенно касающиеся теории числа, привлекли внимание раннего Гуссерля при разработке им философии математики. (Ибо полемика ученых ведь тоже означает взаимодействие, взаимопересечение идей и поисков.) Коротко об идеях Дедекинда, на которые так или иначе отреагировал ранний Э. Гуссерль.
1. Дедекинд разделял с некоторыми другими современными ему математиками ту точку зрения, согласно которой «вещью» (Ding) правомерно называть любой “предмет» мысли. [248] Эта частная идея, полагаю, тесно связана с общими традициями философии, согласно которым немецкая философия давно, со времени Канта, отошла от чисто материально-вещественного толкования (в духе бытового употребления слова «вещь»), наделив термин «вещь» отвлеченным содержанием и затем относя его уже к специальным обозначениям каких-то «предметов мысли». Важно, что, вероятно, еще раньше в математике стало возможным употребление слова «вещь» (Ding) при обозначении какого-либо математического содержания. Например, Дедекинд рассуждает так: если мы обозначим вещь, Ding, буквой a, то мы напишем a=b, если всё, что можно сказать об a, мыслят и о b, как и наоборот. Если a=b и b=c, то a=c. Если мы объединяем в каком-либо аспекте различные вещи a, b, c, то говорим, что они формируют систему (множество) S и a, b, c называют элементами S. «Такое множество, со своей стороны, поскольку оно становится объектом нашей мысли, равным образом рассматривается как одна вещь. Дедекинд, следовательно, ясно выражает ту мысль, что некоторое множество может быть понято как элемент другого множества» (Ebenda. S. 400 – курсив мой. – Н. В.).
Вот почему историки математики считают, что не только Г. Кантор, но и Дедекинд причастен к рождению теории множеств. [249] И, кстати, когда Кантор начал свои разработки в данной области, он встречался и переписывался, обмениваясь идеями, с Дедекиндом. Да и дальнейшая переписка Кантора и Дедекинда в 1874, 1877 годах содержала весьма интенсивное и плодотворное ознакомление с идеями друг друга этих математиков по конкретным проблемам формирующейся теории множеств (например, о «мощностях» – (Mächtigkeiten), «эквивалентных друг другу», (gleichmächtig, äquivalent) или об отличающихся друг от друга множествах.
2. В своей работе «Stätigkeit und irrationale Zahlen» («Непрерывность и иррациональные числа») Дедекинд развивал мысль о том, что арифметические операции сами обладают известной непрерывностью (Stätigkeit). (Из этой идеи, констатируют историки математики, родилась будущая типологическая теория в алгебре).
3. В теории чисел Дедекинда, в частности, в упомянутой выше работе, содержалась попытка прежде всего осмыслить проблему целых чисел. Любопытно, что набросок вышеупомянутой работы носит такое название – «Размышления о числах», с подзаголовком «Попытка анализа понятия числа с наивной точки зрения» (!)
4. Имея в виду интерес Гуссерля к проблеме числа и к идее о фундаментальной роли натуральных (кардинальных) чисел (Anzahl), обратим внимание на то, что роль Дедекинда в специально-математическом осмыслении соответствующей проблематики была значительной.
С использованием понятий «бесконечных множеств» и «класса просто бесконечных систем» (Klasse der einfach unendilichen Systeme) – после исследования сложения, умножения и потенцирования естественных чисел, Дедекинд анализирует сложное понятие Anzahl, кардинального числа, в применении к элементам конечной системы или конечных множеств. «Здесь Дедекинд показывает, что множество конечно или бесконечно в зависимости от того, имеет ли оно одинаковую мощность с множеством Zn… Если числа используют для того, чтобы выразить это свойство, то их называют кардинальными числами, а именно кардинальными числами конечных множеств» (Diedonne, Ebenda. S. 414).
Таким образом, Дедекинд – уже с использованием понятий (и раскладок) теории множеств – снова как бы работает на дополнительное обоснование действительно «кардинальной» роли Anzahl. И эти его усилия, скорее всего, принимал во внимание Э. Гуссерль с его поддержкой идеи о фундаментальной роли Anzahl.
Есть и более прямое высказывание Дедекинда о том, что «любое, пусть и далеко отстоящее положение алгебры и высшего анализа можно выразить и как положение о натуральных числах». При этом Дедекинд говорил, что подобное суждение он не раз слышал от Дирихле. [250]
5. Дедекинда расценивают (Diedonne, op. cit. S. 767) как одного из математиков, который – благодаря введению принципа «дефиниции черед индукцию» – заложил основы математической логики. (В эту тематику, специальную для нашего исследовательского контекста – не подразумевающего
