А теперь об области низких температур. Судьба электронного газа остается той же, так как и «низкая» и «высокая» температуры очень удалены от «температуры вырождения» электронного газа. А вот ионная подсистема при переходе в область низких температур отражает уже известные нам черты квантовости.
В конце очерка, почти вне связи с предыдущим изложением, я хочу обратить внимание на одну важную особенность электронного газа. Так как каждый атом, входя в состав решетки металла, отдает в среднем около одного электрона в газ, то плотность этого газа оказывается огромной, равной 1/ω ≈ 1023 см-3 (ω — объем, приходящийся на атом). Это в 104 раз больше, чем число частиц в обычном газе при нормальном давлении. Таким образом, плотность электронного газа такая, какой была бы плотность (число частиц в единице объема) обычного газа под давлением 10 000 атмосфер. При этом оказывается, что такая высокая плотность не мешает электронному газу сохранять свойства идеального!
Электронный газ обладает еще одной особенностью, которая резко отличает его от обычного «классического» идеального газа, с представлениями о котором мы сроднились еще со школьных времен, когда впервые познакомились с законом Бойля — Мариотта. Тогда мы прочно усвоили, что кинетическая энергия частиц идеального газа настолько превосходит потенциальную энергию взаимодействия между ними, что, вычисляя полную энергию газа, потенциальной энергией можно пренебречь. Делать это можно с тем большим основанием, чем более разрежен газ. Таким образом, степень «идеальности» классического газа увеличивается с уменьшением его плотности. А у квантового (в частности, электронного) газа ситуация диаметрально противоположная: чем плотнее газ, тем он идеальнее. Странно? Действительно странно, но так! Дело в том, что, как оказывается, кинетическая энергия εk электронов в ансамбле зависит от числа электронов в единице объема пе по закону εk ~ ne2/3 , а потенциальная энергия εр их взаимодействия, которое подчиняется закону Кулона, изменяется с расстоянием lе между электронами по закону εр ~ 1/lе . Так как пе = 1/lе3, то εр ~ пе1/3.
Очевидно, что с ростом пе , т. е. с увеличением плотности электронного газа, εk возрастает быстрее, чем εр, а это означает, что газ дает больше оснований пренебрегать εр по сравнению с εk , то есть становится более идеальным.
Итак, металлический кристалл «пропитан» электронным газом огромной плотности. Легко понять, что наличие такого газа — необходимое условие существования металлического кристалла. Ведь если бы мы могли удалить свободные электроны из металла, «выдуть» их из решетки, ионы, оставшиеся в узлах, имея одинаковые заряды, под влиянием кулоновского отталкивания разлетались бы прочь друг от друга, решетка «взорвалась» бы и перестала существовать. Электронный газ как бы скрепляет решетку, состоящую из взаимно отталкивающихся ионов.
ЭЛЕКТРОНЫ ДВИЖУТСЯ В МЕТАЛЛЕ
В школьные годы я не испытывал благоговения перед законом Ома. Напротив, мне казалось, что совершенно нет оснований почти самоочевидное утверждение превращать в памятник ученому. Ток пропорционален напряжению! А чему бы ему еще быть пропорциональным? Конечно же, напряжению!
Закон Ома, однако, явно заслуживает большей почтительности. Его видимая простота отражает сложные процессы, которые происходят в кристалле, когда по нему течет электрический ток. Закон Ома был экспериментально установлен в 1826 г. и со временем явился источником важной информации о свойствах живого кристалла. Об этом и рассказ.
Если отвлечься от гипноза школьного учебника, то не так уж очевидно, что ток должен быть пропорционален напряжению. Легко построить вполне логичную последовательность шагов, которая приведет к утверждению, отличному от закона Ома. Логика эта будет основана на совершенной правде. Разве только не вся необходимая правда будет ею учтена. Построим эту последовательность шагов, имея в виду металл, т. е. кристалл, состоящий, как известно, из ионов, которые размещены в узлах решетки, и обобществленных электронов, о которых говорят: «электронный газ».
Первый шаг: ток, т. е. количество электронов, которое проходит через площадь 1 см2 за единицу времени, при прочих равных условиях должен быть пропорционален скорости электронов. Шаг верный, сомнений он не вызывает.
Второй шаг: если к кристаллу приложено постоянное напряжение, то электрон испытывает на себе действие определенной силы. В этом случае, согласно закону Ньютона (а электрон не имеет права не подчиняться этому закону), электрон должен двигаться с постоянным ускорением, т. е. со временем его скорость должна увеличиться. Это означает, что со временем будет увеличиваться и ток. Кажется, и в этом шаге нет ошибки.
А если так, то мы пришли к заключению, отличному от закона Ома: напряжение постоянно, а ток со временем возрастает, так как возрастает скорость электронов. Наши дисциплинированные шаги привели нас к поразительному следствию: приложим к металлическому кристаллу малое напряжение, а ток в нем будет со временем увеличиваться беспредельно, до бесконечности. Логика кажется непорочной, а следующее из нее предсказание резко противоречит фактам. Попросту нелепо!
Конечно же, порочны не факты, а наши рассуждения. Для того чтобы согласовать их с фактами, надо понять, почему электроны, испытывая на себе действие извне приложенной постоянной силы и не приходя при этом в конфликт с законом Ньютона, движутся все же с постоянной скоростью, а не с постоянным ускорением. Под влиянием постоянной внешней силы тело может двигаться с постоянной скоростью лишь при условии, что кроме этой силы на него действует еще и сила трения. Ну, скажем, шарик в жидкости падает с постоянной скоростью, испытывая на себе две силы: силу тяжести и противоположно направленную силу трения шарика о жидкость. По величине эти две силы равны, их разность равна нулю, и закон Ньютона оказывается удовлетворенным: в отсутствие действующей силы тело должно либо покоиться, либо двигаться равномерно и прямолинейно. Происходит второе.
Вернемся к электронам. Итак, для того чтобы соблюдался закон Ома, электроны в металле должны двигаться, испытывая силу трения. Мы явно на правильном пути, так как, видимо, благодаря именно этой особенности движения электронов в металлическом кристалле, он нагревается проходящим током, обнаруживая «омическое сопротивление». Тепло является следствием потерь электронами энергии, расходуемой на преодоление трения.
Теперь наша логика согласуется с законом Ома: так как устанавливающаяся скорость тем больше, чем большая сила действует на электрон, и так как эта сила пропорциональна приложенному напряжению, то и ток пропорционален напряжению. Оба закона соблюдены: и Ома, и Ньютона.
Неистолкованным остается физическое содержание, которое следует вложить в слово «трение». Вообще говоря, «трение» — это то, что порождает силу, которая в процессе движения препятствует нарастанию скорости тела, движущегося под влиянием извне приложенной силы. Это, как уже упомянуто, лишь «вообще говоря». А если говорить конкретно, имея в виду электрон, движущийся в кристалле, то под влиянием силы, рожденной приложенным напряжением, электрон прогрессивно не наращивает скорость из-за того, что встречает на своем пути различные препятствия, о которые электрон как бы спотыкается. Наращивает скорость, а затем теряет ее, наращивает и опять теряет и т. д. В этом скачкообразном процессе он перемещается с некоторой средней «дрейфовой» скоростью υд. Именно она и определяет ток.
Естествен вопрос: обо что «спотыкается» электрон? Практически о любую неоднородность структуры металла. Во-первых — о примесные, чужеродные атомы, которые в решетке вокруг себя создают напряжения. Так как число примесных атомов от температуры не зависит, их вклад в омическое сопротивление металла с температурой не изменяется. Говорят: температурно независимый вклад. Во-вторых — о те меняющиеся со временем неоднородности структуры кристалла, которые обусловлены тепловым движением составляющих его атомов. Мы, уже знающие, что совокупность тепловых возбуждений в решетке можно представить как газ квазичастиц-фононов, об этой второй причине сопротивления, оказываемого решеткой электронам, можем сказать так: рассеяние электронов на фононах. Так как плотность газа фононов с температурой растет, растет и обусловленный им «температурно зависимый вклад» в сопротивление решетки движущимся электронам.
