Кстати, «мигающая вакансия» — это ли не признак жизни кристалла!
ЭЛЕКТРОНЫ — КВАНТОВЫЙ ГАЗ
В истории изучения кристаллов в начале нашего века был период, когда среди прочих проблема «электроны в металле» была весьма загадочной, интригующей, казалось — тупиковой. Посудите сами. Экспериментаторы, изучающие электрические свойства металлов, доказывают, что в металле имеются свободно движущиеся электроны. Вот два очень существенных факта, которые они установили. Первый факт: если быстро движущийся проводник, подключенный к амперметру, мгновенно остановить, по проводнику потечет ток и амперметр это обнаружит. Ясно, в чем дело: и остановленном проводнике электроны продолжают поступательно двигаться подобно тому, как движутся пассажиры, стоя едущие в трамвайном вагоне, который мгновенно затормозили. Движущиеся электроны и обусловят обнаруживаемый ток. Основываясь на описанной модели механизма возбуждения тока в заторможенном проводнике, можно вычислить величину тока. Вычислили! Результат расчета совпал с экспериментом! Убедились в том, что для носителей заряда характерно отношение величины заряда е к массе т такое же, как для свободного электрона. Кажется, убедительно! Второй факт: к проводнику подключают источник напряжения, и по проводнику течет ток. Всем это известно, и всем ясно, в чем дело: в металле имеются свободные электроны, которые под влиянием напряжения движутся. Имея в виду именно эту причину тока, его величину можно вычислить. Вычислили! Результаты расчета и эксперимента совпали отлично! Тоже убедительно!
Другие экспериментаторы, изучающие теплоемкость металлов, с другими фактами, утверждают, что в металлах вообще никаких свободных электронов нет. Они измерили теплоемкость металлического образца и в согласии с законом Дюлонга и Пти получили цифру, близкую к 6 кал/(моль•К). Но ведь это теплоемкость только решетки. А где же вклад свободных электронов? Ведь если бы они существовали и в совокупности образовывали «газ свободных электронов», то каждый из них имел бы кинетическую энергию 3/2kT . Если же пренебречь потенциальной энергией их взаимодействия (а это можно, электроны свободны!) и если счесть, что на каждый ион в решетке приходится один электрон в газе свободных электронов, то тепловая энергия электронов в моле вещества будет 3/2NkT , а следовательно, их теплоемкость должна была бы равняться 3/2Nk = 3 кал/ (моль • К). Как доподлинно известно, 6 + 3 = 9, а экспериментатор обнаруживает лишь 6!
Ситуация по меньшей мере удивительная: амперметр чувствует электроны, а калориметр — нет! И тот, и другой прибор имеют большие заслуги перед естествознанием и безусловно достойны и уважения, и доверия! Доверять надо и тому, который говорит «да», и тому, который говорит «нет». Явно дело не в приборах, в умелых руках приборы говорят правду! Дело, видимо, в том, что, вслед за корифеями физики начала века, произнеся слова «свободные электроны», мы усмотрели лишь половину правды об электронах в металле. Нас, интересующихся непременными признаками жизни кристалла, не может не интересовать, почему старые добрые представления о тепловом движении частиц, когда их энергия пропорциональна температуре, применительно к электронам оказываются явно недостаточными. Электроны «живут» по каким-то иным законам, обнаруживая при этом не обычные признаки жизни, во всяком случае не свойственные ионам.
Первая половина правды об электронах состоит в том, что они свободны, что под влиянием приложенной к ним силы они могут направленно перемещаться и быть при этом носителями тока.
Поищем теперь вторую половину правды об электронах. В ее поисках нам могут помочь законы квантовой механики. Среди ее фундаментальных законов есть закон (или принцип), впервые сформулированный великим швейцарским физиком Вольфгангом Паули. Согласно Паули, в состоянии с одной и той же энергией могут находиться не более двух электронов. Вывести закон Паули сегодня нельзя ниоткуда, можно, однако, убедиться в том, что, если бы природа перестала ему подчиняться, для природы это окончилось бы плачевно, гибельно. Все электроны в атоме стремились бы запять положения с минимальной энергией и дружно сгруппироваться у самого ядра атома, и нынешний атом — основа мироздания — перестал бы существовать. Остальное читатель пусть домыслит сам! Как уже упоминалось, природа мудра и великие законы соблюдает, видимо, догадываясь о последствиях нарушения этих законов.
Вернемся, однако, к электронам в металле. При Т = 0 К, когда электроны не возбуждены тепловым движением, на энергетической «квантовой» лесенке они должны занять самые низкие ступеньки — по два на каждой. Уровень самой высокой ступеньки — он называется уровнем Ферми, и ему соответствует энергия Ферми WF — зависит от плотности электронного тока, т. е. от числа электронов в единице объема. Если мы начнем нагревать этот газ, электроны, которые расположены на глубинных ступеньках, не смогут воспринимать тепловую энергию, так как для этого надо перейти на следующие по высоте ступеньки, а они заняты! Поэтому «нагреваться» смогут лишь те электроны, которые расположены вблизи самой высокой ступеньки; они, восприняв тепловую энергию, смогут переселиться на более высокие свободные ступеньки. Итак, выясняется парадоксальная ситуация: нагревается металл со всеми принадлежащими ему электронами, а тепловую энергию воспринимают лишь немногие из них, и именно они и определяют теплоемкость электронного газа.
Последняя фраза, пожалуй, самая главная во всем очерке. Она дает право утверждать, что теплоемкость электронного газа является не нулевой, но заведомо меньшей чем 3 кал/ (моль•К), так как все те электроны, которые на энергетической лесенке расположены ниже уровня Ферми, не принимают участия в том тепловом движении, которое обусловливает теплоемкость электронов. Точный расчет свидетельствует о том, что электронный вклад в теплоемкость металла, возрастающую по закону Сэ ~ T при высокой температуре мал, порядка 1 %. Эта величина близка к погрешности измерений теплоемкости. Именно поэтому экспериментатор и получает величину, близкую к 6 кал/(моль•К).
Здесь, продолжив логику изложения, иной читатель обратит внимание на то, что по мере освобождения ступенек вблизи уровня Ферми на них могут переходить электроны с нижних ступенек и в конце концов все электроны начнут принимать участие в тепловом движении. Все станет на свои «классические» места, и шестерка превратится в девятку. «Иной» читатель прав. Точнее, качественно прав, так, вообще говоря, может быть, но ... реально не будет! Дело в том, что из совсем несложных расчетов следует, что электронный газ потеряет воспоминание о своей квантовой природе и превратится в классический газ около так называемой «температуры вырождения», которая для металлов оказывается весьма высокой, порядка 10б К. При такой высокой температуре любой металл испарится, а с ним исчезнет и предмет наших забот — электронный газ. Таким образом, вплоть до температуры плавления электронный газ в металле оказывается, как говорят физики, «сильно вырожденным», заведомо квантовым. И поэтому теплоемкость электронного газа остается пренебрежимо малой по сравнению с теплоемкостью решетки. Разумеется, в области высоких температур, где справедлив закон Дюлонга и Пти.
Подумаем над тем, что должно быть в области низких температур, там, где закон Дюлонга и Пти оказывается несостоятельным. Решеточная теплоемкость Ср ~ Т3, а электронная Сэ ~ Т.
Это означает, что должна существовать такая температура Т*, ниже которой электронная теплоемкость будет больше решеточной. Эта температура оказывается очень низкой, для металлов около 10 К. Экспериментально она отчетливо обнаруживается, свидетельствуя о разумности наших представлений о теплоемкости электронов — квантового газа.
Переведем здесь дыхание, вспомним рассказанное и попытаемся представить себе общую картину движения частиц-ионов и частиц-электронов, составляющих металл. Вначале об области высоких температур. Решетка, состоящая из ионов, ведет себя «классически»: атомы колеблются около положений равновесия, модель «атом-шарик» на пружинке отражает этот процесс. А электроны ведут себя «квантово» и воспринимают лишь малую долю той тепловой энергии, которую они могли бы получить от горячей решетки. Существуют два ансамбля частиц: «классические» ионы и «квантовые» электроны. Частицы каждого из ансамблей движутся, подчиняясь своим законам, проявляя свои признаки жизни.
