Рис. 13
Следует помнить, что импульс интересует нас только потому, что он сохраняется. Поэтому мы искали новый четырехмерный импульс, который будет сохраняться в пространстве-времени. Мы можем представить себе совокупность векторов импульса, указывающих в разных направлениях. Они могут отображать, например, импульсы определенного количества частиц, которые должны вот-вот столкнуться. После столкновения образуется новая совокупность векторов импульса, указывающих в других направлениях. Однако закон сохранения импульса гласит, что общая сумма всех новых стрелок должна в точности соответствовать сумме исходных. Это, в свою очередь, означает, что должна сохраняться также общая сумма частей всех стрелок, указывающих в направлении пространства, так же как и сумма частей, указывающих в направлении времени. Таким образом, если мы подсчитаем значения γmv для каждой частицы, то общая сумма этих значений до столкновения должна быть такой же, как и общая сумма после него. То же самое происходит и с частями вектора импульса, указывающими в направлении времени, только в этом случае сохраняется общая сумма значений γmc. Похоже, у нас есть два новых закона физики: γmv и γmc – это сохраняющиеся величины. Но чему они соответствуют? На первый взгляд во всем этом нет ничего особенного. Если скорость достаточно низкая, то значение γ очень близко к единице, а γmv превращается просто в mv. Таким образом, в итоге все тот же закон сохранения импульса. Это обнадеживает, поскольку мы рассчитывали, что нам удастся прийти к выводам, которые признали бы физики викторианской эпохи. Безусловно, Брюнель и другие великие инженеры XIX столетия прекрасно обходились без пространства-времени, поэтому наше новое определение импульса должно давать почти те же ответы, что и во времена промышленной революции, – при условии, что объекты перемещаются со скоростью, далекой от скорости света. В конце концов, Клифтонский подвесной мост не упал после того, как Эйнштейн сформулировал теорию относительности.
Что мы можем сказать о сохранении γmc? Поскольку c – это универсальная константа, значение которой всегда одинаково, закон сохранения γmc равносилен утверждению, что масса сохраняется. Этот вывод не стал для нас большой неожиданностью, поскольку согласуется с интуицией, хотя довольно интересно, что он появился как будто ниоткуда. Например, можно утверждать, что после сгорания угля в печи масса пепла (плюс масса вещества, вылетевшего через дымоход) должна быть равна массе угля до его сжигания. Тот факт, что значение γ не равно в точности единице, кажется несущественным, и у нас может возникнуть соблазн двигаться дальше, удовлетворившись тем, что мы и так уже многого добились. Мы определили импульс таким образом, что он представляет собой значимую величину в пространстве-времени, благодаря чему внесли коррективы (в большинстве случаев незначительные) в определение импульса, принятое в XIX столетии, и в то же время вывели закон сохранения массы. На что еще мы могли рассчитывать?
Нам понадобилось достаточно много времени, чтобы добраться до этого момента, но нас все же ждет неожиданный финал этого повествования. Мы более внимательно проанализируем ту часть вектора импульса, который указывает направление во времени, а сделав это, чудесным образом выведем самую знаменитую формулу Эйнштейна. Мы с вами проделали большой путь, и вы узнали многое из того, что должен знать профессиональный физик о четырехмерных векторах и пространстве Минковского. Теперь мы готовы к кульминации.
Мы установили, что значение γmc должно сохраняться. Теперь нам необходимо объяснить, что именно это означает. Если вы представите себе игру в релятивистский бильярд, то в ней каждый шар имеет свое значение γmc. Сложите вместе все эти значения – и какой бы ни была общая сумма, она останется неизменной. А теперь давайте поиграем в игру, которая поначалу покажется бессмысленной. Если значение γmc сохраняется, то сохраняется и значение γmc² – просто потому, что c – это константа. Вскоре вам станет понятно, зачем мы так поступили. В то же время значение γ не равно в точности единице, и в случае малых скоростей его можно аппроксимировать посредством формулы γ = 1 + v² ÷ 2c². С помощью калькулятора вы можете проверить самостоятельно, что эта формула работает достаточно хорошо для скоростей, которые можно считать малыми по сравнению с с (то есть она дает практически те же значения, что и точная формула γ = 1 ÷ √(1 − v²/с²). Если у вас под рукой нет калькулятора, надеемся, представленная ниже таблица вас убедит. Обратите внимание, что приближенная формула (которая дает значения, представленные в третьем столбце) на самом деле очень точна даже в случае скоростей, составляющих десять процентов от скорости света (v/c = 0,1), что представляет собой недостижимую в обычных условиях скорость 30 миллионов метров в секунду.
Таблица
Если принять это упрощение, то значение γmc² приближенно равно mc² + ½mv². В этот момент мы можем осознать крайне важные последствия наших действий. Мы пришли к выводу, что для малых по сравнению с с скоростей сохраняется величина mc² + ½mv². Точнее говоря, величина γmc², но на данном этапе первое уравнение гораздо лучше позволяет понять суть происходящего. Почему? Как вы уже знаете, произведение mv² ÷ 2 – это кинетическая энергия, с которой мы познакомились в примере со сталкивающимися бильярдными шарами. Благодаря этой формуле можно определить, какой энергией обладает объект с массой m, движущийся со скоростью v. Мы обнаружили, что существует нечто сохраняющееся, равное чему-то (mc²) плюс кинетическая энергия. Имеет смысл называть это «нечто» сохраняющейся энергией, но у него есть две составляющие: одна – mv² ÷ 2 и вторая – mc². Пусть вас не сбивает с толку тот факт, что мы выполнили умножение на с. Мы сделали это исключительно для того, чтобы наш окончательный ответ включал в себя такой член уравнения, как mv² ÷ 2, а не mv² ÷ 2с. Первая из двух формул описывает то, что ученые многих поколений называли кинетической энергией. При желании вы можете обозначить mv² ÷ 2с термином «кинетическая масса» или придумать любое другое название, которое здесь не играет особой роли (даже если оно столь же важное, как термин «энергия»). Имеет значение лишь следующее: временная компонента вектора момента в пространстве-времени и эта величина сохраняются. Нужно признать, что формулировка «временная компонента вектора момента в пространстве-времени равна mc» выглядит не столь привлекательно, как E = mc², но их физика одинакова.
Мы продемонстрировали, что сохранение импульса в пространстве-времени приводит не только к появлению новой, усовершенствованной версии закона сохранения импульса в трехмерном пространстве, но и к пересмотру закона сохранения энергии. Давайте представим себе систему движущихся частиц. Как мы уже говорили выше, сумма их кинетических энергий плюс масса всех частиц, умноженная на квадрат с, дает нам некую неизменную величину. Ученые викторианской эпохи были бы очень довольны утверждением, что сумма кинетических энергий должна оставаться неизменной. Кроме того, их порадовало бы и утверждение, что сумма масс также не должна изменяться (умножение на с не играет особой роли, когда речь идет о чем-то неизменном). Наш новый закон соответствует действительности, но это далеко не все. При таком положении вещей ничто не мешает какой-то части массы превращаться в кинетическую энергию и наоборот при условии, что сумма этих двух вещей не меняется. Мы обнаружили, что масса и энергия взаимозаменяемы, а количество энергии, которую можно извлечь из массы m, находящейся в состоянии покоя (γ в этом случае равно единице), определяется уравнением E = mc².
Давайте подведем итог. Мы хотели найти в пространстве-времени объект, который выполнял бы те же функции, что и импульс в трехмерном пространстве, поскольку импульс полезен тем, что представляет собой сохраняющуюся величину. Мы смогли отыскать такой объект, только составив его из тех элементов, по поводу значения которых все наблюдатели приходят к согласию, а именно расстояние в пространстве-времени, универсальная предельная космическая скорость и масса. Построенный нами вектор импульса в пространстве-времени оказался очень интересным. Проанализировав ту его часть, которая указывает направление в пространстве, мы обнаружили все тот же закон сохранения импульса с небольшой поправкой: в пространстве-времени он распространяется на объекты, которые движутся со скоростью, близкой к скорости света. Но самое ценное открытие было сделано в процессе изучения части вектора, указывающей в направлении времени. Мы получили совершенно новую версию закона сохранения энергии. Старая кинетическая энергия mv² ÷ 2 все еще присутствует в этой версии закона, но появилась еще одна, абсолютно новая составляющая – mc². Таким образом, даже если объект не двигается, он обладает энергией и она определяется знаменитым уравнением Эйнштейна E = mc².
