Ниже приводятся вступительные задания по физике и математике.
В задании но физике: задачи 1–5 предназначены для учащихся седьмых классов, 1, 2, 4, 6–8 — для восьмых классов, 2, 4, 7 — 10 — для девятых классов, 2, 9 — 14 — для десятых классов. В задании по математике: задачи 1–5 — для учащихся седьмых классов, 2–8 — для восьмых классов, 5 — 11 — для девятых классов, 8 — 14 — для десятых классов.
Номера классов указаны на текущий 2000–2001 учебный год.
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ
1. Пловец переплывает реку, имеющую ширину h = 54 м. Под каким углом φ к направлению течения он должен плыть, чтобы переправиться на противоположный берег в кратчайшее время? На какое расстояние S в этом случае течение снесет пловца вдоль берега, если скорость течения реки u = 5 км/ч, а скорость пловца относительно воды V = 1 м/с? (7–8 класс)
2. Пешеход треть всего пути бежал со скоростью V1 = 9 км/ч, треть всего времени шел со скоростью V2 = 4 км/ч, а оставшуюся часть шел со скоростью, равной средней скорости на всем пути. Найти эту скорость. (7–8 — 9 — 10 класс)
3. Однородное тело массой М = 5 кг плавает на поверхности воды, погрузившись на половину своего объема. Найти объем тела. (7 класс)
4. Гирю, подвешенную к динамометру, опускают в воду до тех пор, пока уровень воды в сосуде с вертикальными стенками не поднимется на Δh = 5 см. Показание динамометра при этом изменяется на ΔF = 0,5 Н. Определить площадь дна сосуда. Плотность воды ρ0 = 103 кг/м3 (7–8 — 9 класс)
5. Взвешивание металлической трубы было произведено при помощи динамометра с предельной нагрузкой 100 Н. В результате взв…(предложите способ) было произведено взвешивание? (7 класс)
6. В электрическом чайнике вода нагревается от 20 °C до кипения за 10 мин. За какое время после этого 20 % воды выкипит? Удельная теплоемкость воды С = 4,2 кДж/(кг·°С), удельная теплота парообразования воды L = 2300 кДж/кг. Теплоемкость чайника и теплообмен с окружающей средой не учитывать. (8 класс)
7. В теплоизолированный сосуд с нагревателем постоянной мощности внутри помещены m1 = 1 кг льда и m2 = 1 кг легкоплавкого вещества, не смешивающегося с водой, при температуре t1 = —40 °C. Зависимость температуры в сосуде от времени показана на рисунке. Удельная теплоемкость льда cl =2 кДж/кг·К; твердого вещества c1 = 1 кДж/кг*К. Найти удельную теплоту плавления вещества λ и его удельную теплоемкость c2, в расплавленном состоянии. (8–9 класс)
8. Во сколько раз изменится тепловая мощность, выделяемая в цепи, если замкнуть ключ при условии, что R1 = 2R2? Напряжение источника постоянно. (8–9 класс)
9. Спортсмен прыгает с 10-метровой вышки и погружается в воду на расстоянии L = 3 м по горизонтали от края вышки через время t = 2 с.
Определить скорость спортсмена в момент прыжка. Сопротивлением воздуха пренебречь. (9—10 класс)
10. Автомобили на автодроме испытываются на скорости V = 120 км/ч. Под каким углом α к горизонту должно быть наклонено полотно дороги с радиусом закругления R = 110 м, чтобы движение автомобиля было наиболее безопасным даже в гололедицу? (9 — 10 класс)
11. Два одинаковых пластилиновых шарика массой m каждый начинают движение одновременно. Первый бросают вертикально вверх со скоростью V0 с поверхности земли, а второй падает с высоты h без начальной скорости так, как показано на рисунке. В воздухе происходит абсолютно неупругое соударение шариков. С какой скоростью упадет на землю комок пластилина, образовавшийся при ударе? Какое тепло выделится при соударении шаров? Сопротивлением воздуха пренебречь. (10 класс)
12. В закрытом сосуде объема V = 22,4 дм3 находится v1= 1 моль воды и кислород. При температуре t = 100 °C давление в сосуде равно Р = 22· 105 Па. Определить количество кислорода, находящегося в сосуде. (10 класс)
13. Моль идеального одноатомного газа совершает замкнутый цикл, состоящий из адиабатического расширения, изотермического сжатия и изохорического нагревания. Какая работа была совершена газом в адиабатическом процессе, если в процессе изохорического нагревания газу подвели тепло Q = 10 кДж. (10 класс)
14. Два одинаковых заряженных шарика, подвешенных на нитях одинаковой длины, опускают в керосин. Какова должна быть плотность материала шариков ρ, чтобы угол расхождения нитей в воздухе и в керосине был один и тот же? Диэлектрическая проницаемость керосина ε = 2, плотность ρо = 0,8 г/см (10 класс)
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ
1. Школьники отправились в туристический поход из пункта А в пункт В. В первый день они шли 6 часов и прошли 1/3 всего пути; во второй день они прошли на 10 % меньше. В третий день школьники были в пути только 3 часа и шли со средней скоростью, с которой они шли в первый день. В четвертый день они прошли оставшиеся 9 км. Чему равно расстояние между пунктами А и B?
2. Имеется восемь шариков для подшипника. Один шарик оказался, при равных размерах с остальными, сделанным из более легкого сплава. Как найти этот «легкий» шарик, если имеются весы без гирь, взвешивая шарики только два раза?
3. Сумма цифр двузначного числа равна 14. Если к этому числу прибавить 46, то получится число, произведение цифр которого равно 6. Найти двузначное число.
4. Пусть m и n — натуральные числа, причем m/n — правильная несократимая дробь. На какие натуральные числа можно сократить дробь
если известно, что она сократима?
5. Даны два отрезка m и с. С помощью циркуля и линейки построить прямоугольный треугольник, если с — длина гипотезы, m — сумма длин катетов.
6. Аквариум частично заполнен водой. За месяц 40 % воды испарилось. При этом объем воздуха увеличился на 60 %. Какую часть объема аквариума занимала вода в конце месяца?
7. Решить уравнение
8. Группа студентов сдавала экзамен по математике. Число студентов, сдавших экзамен, оказалось в интервале от 96,8 % до 97,6 %. Каково наименьшее возможное число студентов в группе?
9. В равнобедренном треугольнике AВС основание АВ является диаметром окружности, которая пересекает боковые стороны АС и СВ в точках D и Е соответственно. Найти периметр треугольника ABC, если AD = 2, АЕ = 8/3.
10. Найти все значения параметра а, при которых ровно один корень уравнения х2 + 2(а — 1)x + 3a + 1 = 0 удовлетворяет неравенству х <— 1.
11. Решить неравенство
12. Решить систему
13. В ромбе ABCD из вершины В на сторону AD опущен перпендикуляр BE. Найти углы ромба, если .
14. Найти все значения параметра а, при которых функция
y = x — cos 2х + а cos 6x — 7ах строго убывает на всей числовой оси.
Вопрос — ответ
«Иногда смотрю в магазине на кассовый аппарат… Кто и когда придумал это устройство?»
Вероника Смольская, 12 лет,
г. Санкт-Петербург
Современный электронный кассовый аппарат, конечно же, ничего общего не имеет с тем первым, изобретенным в 1878 году владельцем салуна из американского города Дейтона Джеймсом Риттн. Мысль об аппарате, регистрирующем количество полученных барменом денег, пришла ему в путешествии на пароходе в Европу. От нечего делать Ритти зашел как-то в машинное отделение парохода и стал наблюдать за действиями механизмов. Его внимание привлек счетчик оборотов винта. Изобретателя осенило: ведь можно сделать прибор, который при нажатии клавиш с цифрами будет печатать чек, делать запись на контрольной ленте и суммировать выручку за день.
В 1879 году Ритти запатентовал свое изобретение, дал ему название «Неподкупный кассир Ритти» и стал выпускать примитивные кассовые аппараты. Вначале торговля шла плохо — владельцы кафе и магазинов не оценили достоинств аппарата. Широко кассы распространились лишь после того, как право на их производство приобрел у изобретателя талантливый бизнесмен Джон Паттерсон. К 1910 году позванивающие кассы стали непременным атрибутом торговли.
