Но вот беда! Если добросовестно рассматривать всю четверть координатной плоскости, то площадь каждой отдельной полоски на диаграмме окажется бесконечной. Более того, и полосок бесконечное число! Как же сравнивать бесконечные суммы бесконечных значений? Нам опять поможет понятие меры. Аддитивное свойство позволит нам аккуратно показать, что бесконечность не мешает площадям серых и белых областей быть одинаковыми. В явном виде уравнения для наших кривых имеют вид ω = n/t. Если площадь под кривой ω = 1/t равна S, то благодаря свойству аддитивности площадь под кривой ω = n/t будет равна Sn = nS. В свою очередь, для отдельных полосок получаем: Sn — Sn–1 = nS — (n–1)S = S, а это значит, что разница площадей не зависит от «номера» гиперболы. Это не особенность именно гипербол, тот же вывод можно сделать для любой кривой вида y = nf(x). А раз так, попадания в белую или серую часть диаграммы равновероятны для всей области определения, как и ожидается для «честной» монетки.
Рассуждения, которые мы сейчас привели, кажутся достаточно простыми, но дают весьма общий результат, применимый к любым аддитивным величинам. Абстрактное понятие меры позволило нам сравнивать бесконечные величины, оставаясь в рамках логики и здравого смысла.
Абстракции — это хорошо, но можно возразить, что в реальности мы подбрасываем монетки не со всеми возможными параметрами. Как показали эксперименты со скоростной камерой, при бросании монеты рукой угловые скорости попадают в диапазон от 20 до 40 оборотов в секунду, а длительность полета — от половины до одной секунды. Эта область на рис. 2.1 выделена прямоугольником. В ней суммарная площадь белых полосок чуть больше, чем серых, и можно сделать вывод, что вероятность выпадения той же стороны, что была вверху при броске, составит 50,6 %.
В 2007 году Перси Диаконис и соавторы опубликовали статью, в которой дается развернутый анализ процесса подбрасывания монетки. Детальное описание механики летящего и вращающегося диска, который не просто крутится, а еще и прецессирует (его ось вращения сама поворачивается в полете, описывая коническую поверхность), показывает, что при ручном подбрасывании из позиции «орел сверху» вероятность выпадения «орла» составляет 51 %. К смыслу этого результата мы еще вернемся.
Откуда же берется случайность?
В сувенирных лавках можно найти магнитные маятники для «выбора желаний». Это тоже механические генераторы случайности, и их иногда ошибочно называют «хаотическими маятниками». Начав движение с каких-то начальных позиции и скорости, маятник совершает ряд «непредсказуемых» колебаний и наконец останавливается в одном из секторов. Однако колебания и здесь не непредсказуемы, просто они очень чувствительны к начальным условиям. Для каждого сектора, в котором может остановиться маятник, существует область притяжения в пространстве координат-скорости. Это множество таких начальных условий, при которых маятник обязательно притянется к определенной точке в указанном секторе. Точка остановки маятника называется аттрактором — притягивающей точкой. В случае маятника с рис. 2.5 пространство координат и скоростей четырехмерно, и так просто области притяжения показать не удастся. Но если ограничиться двумя секторами и свести задачу к одномерной (такой маятник называется осциллятором Дюффинга), то пространство начальных значений превратится в плоскость, так что области притяжения можно будет увидеть. Они выглядят как замысловатая фигура, напоминающая древний символ «инь-ян» и быстро превращающаяся в узкие полоски, которые разделяют области притяжения.
Рис. 2.5. Области притяжения аттракторов для одномерного маятника желаний — осциллятора Дюффинга
Как и в случае с монетой, немного смещая начальные условия, мы попадаем от одного аттрактора к другому. Так же действует и игральная кость, и рулетка, но они не могут считаться сами по себе генераторами случайности. Это не истинно хаотические системы, и их поведение теоретически можно рассчитать точно. Иначе говоря, вероятностные методы применительно к таким системам помогают восполнить наше незнание о них, но не соответствуют неотъемлемым свойствам самих систем.
Но существует ли настоящая случайность, глубинная, невычислимая в принципе, описываемая только на языке вероятностей? Да, причем такие системы можно разделить на два типа: стохастические и хаотические.
Хороший пример истинно стохастической системы — появление автомобилей на дороге. Люди не договариваются, не согласовывают свои планы, каждый элемент ансамбля за пределами дороги действует независимо. И хотя в поведении людей есть определенные закономерности — часы пик утром и вечером, пустые дороги ночью и т. д., — мы не обладаем и никогда не будем обладать достаточной информацией о каждом участнике движения, чтобы предсказать появление любого из них. Можно взлететь над дорогой на вертолете и посмотреть, какие машины мы скоро увидим, расширив наше знание о ней, но и это не будет исчерпывающим описанием системы. Надо еще «взлететь» над временем, чтобы увидеть все прошлое и все причинно-следственные связи между элементами. Однако и этого недостаточно. Нужно заглянуть каждому участнику движения в мозг и выяснить, что он намерен делать и что станет делать, если другие участники изменят его планы. Таким образом, наряду с макроскопическим описанием системы в игру вступает скрытое от нас внутреннее состояние ее элементов, и оно порой выходит на первый план. Другой яркий пример стохастической системы — механика элементарных частиц на квантовом уровне, распад нестабильных атомов, изменения в генетическом коде, а также, видимо, землетрясения и котировки ценных бумаг на бирже. Единственное, что остается исследователю, — рассматривать их как истинные случайные величины и описывать в терминах теории вероятностей.
Есть и другой источник случайностей — динамический хаос. Хаотические системы отличаются от стохастических тем, что описываются небольшим числом точных уравнений и параметров, в которых не содержится случайности или скрытой внутренней структуры. Однако их поведение не просто сложно, а хаотично и истинно непредсказуемо. Если мы начнем раскачивать маятник желаний, пусть очень аккуратно, с предельно точно контролируемой частотой и амплитудой, то обнаружим, что его плавные движения невозможно просчитать надолго. Никакими алгоритмами на сколь угодно точных вычислительных машинах нам не удастся рассчитать точное поведение маятника на произвольно далекое будущее. Он не остановится на каком-либо секторе, а будет совершать свои движения, но никогда не вернется в одну и ту же точку в пространстве координат-скорости дважды. Еще один пример предельно простой хаотической системы — идеальный шарик, подпрыгивающий в поле тяжести на идеальном столике с пружинкой. Сравнительно простые уравнения Лоренца показали, что мы никогда не сможем предсказывать погоду больше чем на пару-тройку недель: это тоже хаотическая
