[9] В полном виде греческая система обозначения чисел выглядела так:
α
β
γ
δ
ε
ς
ζ
η
q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ϙ
10
20
30
40
50
60
70
80
90
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
ϡ
100
200
300
400
500
600
700
800
900
[10] Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
[11] John Keay, The Great Arc, HarperCollins, 2000.
ГЛАВА 4
[1] При условии, что шар не начнет вращаться.
[2] www.lds.org/locations/temple-square-salt-lake-city-tabernacle.
[3] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley & Sons, 1968.
[4] Помимо сугубо математического, слово «парабола» имеет и другое значение, поскольку древнегреческое слово parabola означает не только «бросить рядом»28, но и «сравнить». В литературе парабола — это простой короткий рассказ иносказательного характера, в котором присутствует сравнение с более сложным сюжетом. От этого значения происходит французское слово parler («разговаривать») и многие английские слова, от parliament («парламент») до parole («пароль»).
[5] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.
[6] Математическое объяснение того, почему циклы и эпициклы позволяют описать любую замкнутую непрерывную орбиту, основано на двух концепциях, о которых я часто упоминаю в этой книге: комплексные числа и ряды Фурье. Подобно тому как волну можно разложить на синусоиды, путь в комплексной плоскости можно разложить на ряд круговых вращений.
[7] Santiago Ginnobili and Christian C. Carman, Deferentes, Epiciclos y Adaptaciones, Filosofia e historia da ciencia no Cone Sul, 2008.
[8] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.
[9] Norwood Russell Hanson, Patterns of Discovery, CUP, 1961. Хэнсон начинал в качестве трубача, а во время Второй мировой войны стал летчиком-истребителем. Получив прозвище Летающий Профессор, он продолжал летать в мирное время и прославился выполнением фигур высшего пилотажа. Хэнсон погиб в возрасте 42 лет, когда его самолет разбился в штате Нью-Йорк из-за густого тумана.
[10] David Wootton, Galileo, Watcher of the Skies, Yale University Press, 2010.
[11] Stillman Drake and James MacLachlan, Galileo’s Discovery of the Parabolic Trajectory, Scientific American, 1975.
[12] Декарт использовал косоугольную систему координат, а «декартова» система координат в современном понимании (с перпендикулярными осями) была предложена впоследствии другими учеными, уточнившими его систему.
[13] A. F. Mobius, Geometrische Eigenschaften einer Factorentafel, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, 1841.
[14] Rodolphe Soreau, Nomographie; ou, Traite des abaques, Chiron, 1921; Ron Doerfler, The Lost Art of Nomography, The UMAP Journal, 2009; H. A. Evesham, Origins and Development of Nomography, Annals of the History of Computing, 1986.
[15] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[16] J. A. Bennett, The Mathematical Science of Christopher Wren, CUP, 1982.
[17] Henry Moore and Stringed Surfaces, exhibition at the Royal Society, 2012.
ГЛАВА 5
[1] Bob Palais, π is Wrong!, The Mathematical Intelligencer, 2001.
[2] Среди исторических личностей, которые отдавали предпочтение отношению длины окружности к радиусу, был аль-Каши. Считается, что в XV столетии в Самарканде он рассчитал число π до 14 десятичных знаков, получив более точный результат, чем кто-либо еще до него. На самом деле аль-Каши вообще не рассчитывал число пи; он вычислил отношение длины окружности к радиусу до 14 десятичных знаков. В 1698 году Абрахам де Муавр использовал символ c/r для обозначения отношения длины окружности к радиусу, но оно так и не прижилось.
[3] tauday.com.
[4] Я бы даже сказал, что это четырежды уместно. Символ τ — это еще и дань уважения лауреату премии Филдса Теренсу Тао — профессору Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
[5] John Martin, The Helen of Geometry, The College Mathematics Journal, 2010; E. A. Whitman, Some Historical Notes on the Cycloid, American Mathematical Monthly, 1943; Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[6] Гюйгенс создал несколько маятников с циклоидными «щеками», но из-за наличия проблем (таких как трение) они работали не лучше обычного маятника. Гюйгенс нашел следующее решение: использовать обычный маятник, но с совсем небольшим размахом, поскольку при малой амплитуде полное колебание маятника остается практически неизменным.
[7] Да, у меня действительно есть и другие любимые математические головоломки, в том числе и с монетами. Вот одна из них. Возьмите шесть монет и разместите их так, как показано на рисунке слева. Ваша задача — расположить монеты по-новому в виде шестиугольника, перемещая их по одной. Кроме того, каждую монету можно передвигать только на такую позицию, в которой она будет соприкасаться с двумя другими. Не разрешается поднимать монету со стола, перемещать ее над другой монетой или убирать монеты с ее пути. Можете ли вы расположить монеты по-новому за три перемещения?
Если вы справились с задачей, попытайтесь разместить в один ряд выложенные треугольником монеты за семь движений, снова придерживаясь того правила, что монету можно передвигать только на такую позицию, в которой она будет соприкасаться с двумя другими.
В следующий раз, когда будете ждать заказ в баре и у вас под рукой окажется несколько свободных монет, попробуйте решить эту головоломку!
[8] Роберваль нарисовал синусоиду на чертеже, объясняющем, как найти площадь под циклоидой. Вряд ли он знал, что эта кривая имеет какое-то отношение к тригонометрической функции синусу.
[9] При отсутствии потерь энергии из-за трения.
[10] Robert J. Whitaker, Harmonographs. I. Pendulum design, American Journal of Physics, 2001; Robert J. Whitaker, Harmonographs. II. Circular design, American Journal of Physics, 2001.
[11] Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 1998.
[12] John Herivel, Joseph Fourier: The Man and the Physicist, Clarendon Press, 1975.
[13] I. B. Cohen, The Triumph of Numbers, W. W. Norton & Company, 2005.
[14] Ряд Фурье для любой волны записывается в виде следующей формулы:
k + a1 sin x + a2 sin 2x + a3 sin 3x + a4 sin 4x …
+ b1 cos x + b2 cos 2x + b3 cos 3x + 4 cos 4x + ...
где k — константа, a и b — амплитуды соответствующих синусоид.
ГЛАВА 6
[1] youtube.com/watch?v=F-QA2rkpBSY.
[2] Альберт Бартлетт умер 7 сентября 2013 года в возрасте 90 лет. Он прочитал свою лекцию 1742 раза.
[3] Gideon Keren, Cultural differences in the misperception of exponential growth, Perception & Psychophysics, 1983.
[4] Daniel Kahneman and Amos Tversky, Availability: A heuristic for judging frequency and probability, Cognitive Psychology, 1973.
[5] Eli Maor, e: The Story of a Number, Princeton University Press, 1994.
[6] J. E. Hofmann, from the biography of Jakob Bernoulli in the Dictionary of Scientific Biography, Scribner, 1970.
[7] William Dunham, Journey Through Genius, Penguin, 1991.
[8] Santiago Huerta, Structural Design in the Work of Gaudi, Architectural Science Review, 2006.
[9] Ed Sandifer, How Euler Did It’, MAA Online, 2004.
[10] Arthur Koestler, The Sleepwalkers, Hutchinson, 1959.
[11] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[12] Было изучено много разных вариантов этой задачи, в частности как изменится вероятность в случае, если человек, проводящий собеседование, сможет повторно назначать его некоторым кандидатам, или как наем первого же кандидата позволит сэкономить деньги. Даррен Гласс проанализировал задачу о выборе секретаря с точки зрения кандидата на должность (см. статью Darren Glass examined The Secretary Problem from the Applicant’s Point of View, in The College Mathematics Journal, 2012). Если количество кандидатов не менее девяти, то лучше всего приходить на собеседование последним. Но в этом случае не остается возможности исправить ошибку. «Приход на собеседование последним обеспечивает максимальный шанс получить работу, но если вы окажетесь предпоследним, то такая вероятность становится самой низкой, — пишет Гласс. — Студентам, выходящим на рынок труда, следует вкладывать всю свою энергию в улучшение резюме, а не в создание стратегии выбора оптимального момента для собеседования».
[13] Борис Березовский умер 23 марта 2013 года в возрасте 67 лет.
[14] Theodore Hill, Knowing When to Stop, American Scientist, 2009.
ГЛАВА 7
[1] «Cool Cash» card confusion, Manchester Evening News, 2007.
[2] Georges Ifrah, The Universal History of Numbers, John Wiley & Sons, 2000.
[3] Абсурдное число (numeri absurdi) не следует путать с термином surd, обозначающим иррациональное число, то есть число, которое не может быть представлено в виде отношения двух целых чисел. Древние греки использовали для обозначения иррациональных чисел слово alogos, что означало «нет соотношения». Однако это слово означало также «не говорящий», что арабы перевели как assam, или «глухой». В латинских текстах употреблялось слово surdus, прямой перевод слова «глухой» с арабского. Вот так получилось, что иррациональные числа стали «глухими» числами, или surds.
