[13] Maurice Mashaal, Bourbaki, American Mathematical Society, 2006.
[14] A. R. D. Mathias, A term of length 4,523,659,424,929, Synthese, 2002.
[15] Bob Moon, Who Controls the Curriculum? The story of New Maths 1960–1980, International Perspectives in Curriculum History, 1987.
[16] В настоящее время насчитывается более десятка систем для проверки доказательств; самые известные — Coq, HOL Light, Isabelle и Mizar. Систему Mizar в 1970-х годах начали разрабатывать в Польше; ее пользователи утверждают, что она содержит самую крупную логически связную базу формализованных доказательств.
[17] Имеется в виду, что можно доказать все математические утверждения, которые в принципе доказуемы (см. примечание о Геделе).
[18] Steven G. Krantz, The Proof is in the Pudding, Springer, 2011.
ГЛАВА 10
[1] Теорема. Если для нахождения простых чисел просеиваются n чисел, то в этом случае достаточно проанализировать на наличие простых чисел числа, не превышающие √n.
Доказательство. Представьте, что вы перебрали все простые числа до √n включительно, но осталось незачеркнутым непростое число m, которое находится между √n и n. Число m не является простым, тогда у него должны быть простые множители, причем больше √n. (Иначе это число было бы вычеркнуто на предыдущих этапах.) Однако произведение двух или более чисел, больших √n, — это число, которое больше n, а значит, число m не может быть меньше n, что и требовалось доказать29.
[2] Одним из его любимых названий было: «Не звоните нам, мы сами вам позвоним!»
[3] Martin Gardner, Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, CD, 2005.
[4] Если кто-то захочет сыграть в игру «Жизнь» (а я настоятельно рекомендую сделать это), лучше всего воспользоваться программой Golly, которую можно скачать здесь: golly.sourceforge.net.
[5] Steven Levy, Hackers, O’Reilly Media, 2010.
[6] Первое решето Эратосфена создал Дин Хикерсон в 1991 году. Решето, которое упомянуто здесь, — это усовершенствованная версия, разработанная Джейсоном Саммерсом в 2005 году.
[7] William Poundstone, The Recursive Universe, Oxford University Press, 2005.
[8] Когда эта книга уже ушла в печать, американский «жизнелюб» (любитель игры «Жизнь») Дэйв Грин объявил о получении новой самовоспроизводящейся фигуры, в которой количество живых клеток конструктора сократилось с 16 229 (как у «Джемини») до 256. Он назвал эту конфигурацию «репликатор Джеминоид», поскольку в нем используется ряд элементов той же технологии, что и у «Джемини». Однако, в отличие от «Джемини», у этой фигуры всего один конструктор, который выживает после создания копии, а не два, которые разрушаются, выполнив свою функцию. Репликатор «Джеминоид» порождает точную копию, которая порождает очередную точную копию и так далее до бесконечности, создавая линию потомков, распространяющуюся по всей сетке. Учитывая, что конструктор состоит из такого малого количества живых клеток, это облегчает построение новых конфигураций. Дэйв надеется на то, что технология «Джеминоида» приведет к появлению множества репликаторов новых типов.
[9] Stephen Wolfram, A New Kind of Science, Wolfram Media, 2002.
ИНТЕРНЕТ
В сети интернет много сайтов, посвященных математике. В процессе написания книги я часто пользовался материалами таких сайтов, как Wolfram MathWorld, MacTutor History of Mathematics, и, безусловно, «Википедией».
Об авторе
Алекс Беллос — автор бестселлера Alex’s Adventures in Numberland («Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в мир математики»), попавшего в шорт-лист премии Сэмюеля Джонсона. Он ведет блог по математике для Guardian и работал на эту газету в Лондоне и в Рио-де-Жанейро, где был иностранным корреспондентом, на редкость хорошо разбирающимся в математике. Алекс Беллос курирует Музей науки и имеет диплом Оксфордского университета по математике и философии. Проживает в Лондоне.
Примечания редакции
1. Беллос А. Алекс в стране чисел. Необычайное путешествие в мир математики. — М. : КоЛибри, Азбука-Аттикус, 2012.
2. Числа в квадратных скобках соответствуют номерам примечаний к каждой главе, помещенным в конце книги.
3. В русском прокате — «Без ума от любви». Прим. пер.
4. Перевод М.М. Морозова. Прим. пер.
5. Перевод Ю. Корнеева. Прим. пер.
6. Spinal Tap — вымышленная рок-группа, которой посвящен псевдодокументальный фильм «Это — Spinal Tap». Этот фильм представляет собой пародию на привычки, внешний вид и бунтарское поведение участников популярных рок-групп. Прим. пер.
7. В романе Джорджа Оруэлла «1984» комната 101 — это камера пыток в Министерстве любви. Прим. пер.
8. Адамс Д. Жизнь, Вселенная и все остальное. М. : АСТ: Ермак, 2003.
9. Джойс Дж. Улисс. М. : Иностранка, 2013.
10. Уточнение: не просто вписаный в полукруг, а одна сторона треугольника равна диаметру круга. Прим. ред.
11. Одно из значений английского слова «chord» — «струна». Прим. пер.
12. SOH-CAH-TOA — мнемоническое правило для запоминания формул определения синуса, косинуса и тангенса. Прим. пер.
13. В русской математической литературе принято обозначение тангенса как tg α. Прим. ред.
14. Клавдий Птолемей. Альмагест. Математическое сочинение в 13 книгах. М. : Наука. Физматлит, 1998.
15. Гомер Джей Симпсон — один из главных героев мультсериала «Симпсоны». Отец семейства, где кроме него и его жены Мардж еще трое детей. Прим. ред.
16. Пинчон Т. Радуга тяготения. М. : Эксмо, 2012.
17. Длина бокового ребра Великой пирамиды — 229 метров, а ее высота — 146 метров. Территория Франции представляет собой прямоугольник со сторонами 770 километров с севера на юг и 700 километров с востока на запад. Сделанные с учетом этих данных расчеты показывают, что оценка Наполеона отличалась от правильной всего на 3 процента.
18. Евклид. Начала. М. : Либроком, 2014.
19. Строго говоря, это неверно, поскольку квадратный корень из отрицательного числа не определен. Математически строгое определение числа і: это такое число, квадрат которого равен –1. Прим. ред.
20. Умножение комплексных чисел выполняется по обычным арифметическим правилам. Я не буду приводить здесь доказательство, но мы можем предположить, что для любых чисел a и b, действительных или мнимых, выполняется равенство: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. Следовательно, если , то .
21. Ньютон И. Математические начала натуральной философии. М. : ЛКИ, 2014.
22. Эта кривая также известна под названием «спираль Корню». Прим. ред.
23. Харди Г.Г. Апология математика. Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000.
24. Реми Ж. Приключения Тинтина. Голубой лотос. СПб. : Азбука-Аттикус, 2013.
25. Слово hack («рубить», «кромсать») впервые было использовано в клубе любителей моделей железных дорог, функционировавшем в МТИ, для обозначения переделки моделей исключительно ради удовольствия, однако впоследствии так начали называть любые действия по усовершенствованию компьютерных программ. Только много лет спустя слово «хакер» приобрело современное значение — компьютерный злоумышленник.
26. Вообще-то в математической литературе десятичный логарифм обозначается как lg. Но оставим обозначение автора без изменений. Прим. ред.
27. Это связано также с тем, что второй член в разложении ln(1 + r) равен –х2/2 и поэтому ln2/ln(1 + r) > ln2/r = 69/R. Прим. ред.
28. Точнее, здесь больше подходит значение «приближать», а не «бросить рядом» (это перевод авторского «to throw alongside»). Прим. ред.
29. Эта теорема говорит о том, что на интервале от √n до n остались только простые числа. Прим. ред.
Содержание
ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА 1
У каждого числа своя история
Автор анализирует, какие чувства мы испытываем по отношению к числам, и объясняет, почему 11 — более интересное число, чем 10, а 24 гигиеничнее 31 и почему семерка приносит удачу
ГЛАВА 2
Длинный хвост закона
Автор изучает универсальные законы чисел и обнаруживает числовые закономерности повсюду, включая и страницы этой книги
ГЛАВА 3
Любовные треугольники
Автор исследует треугольники. Призрачный мир древнегреческой геометрии приводит его сначала к колодцу, а затем на вершину самой высокой горы мира
