источниках (неразрешимая на плоскости, но разрешимая на замкнутой поверхности – скажем, на поверхности кольца), о прогулке пятнадцати девиц. Собственно, и некоторые традиционные игры, такие, например, как такен [99] или багнод, основаны на сходных трудностях и комбинациях, теория которых относится к топологии, созданной Яниревским в конце XIX века. Не так давно математики, сочетая теорию вероятности и топологию, основали новую науку, которая, видимо, может иметь самые разные применения, – теорию стратегических игр [100].
Здесь речь идет о таких играх, где игроки являются противниками и должны защищаться, то есть в каждой новой ситуации им приходится делать обдуманный выбор и принимать соответствующие решения. Такого рода игры подходят в качестве модели в тех вопросах, которые обычно встают в экономике, коммерции, политике и военном деле. Задача состоит в том, чтобы дать закономерное, научно-бесспорное решение проблем, которые хоть и конкретны, но все же поддаются приблизительной формулировке в количественных величинах. Начинали с анализа простейших ситуаций – игры в орла и решку, в камень-ножницы-бумагу (бумага побивает камень, обертывая его, камень побивает ножницы, ломая их, ножницы побивают бумагу, разрезая ее), предельно упрощенной версии покера, воздушного боя и т. д. В расчет начали принимать психологические элементы, такие, как хитрость и блеф. Хитростью назвали «проницательность игрока, умеющего предвидеть поведение противников», а блефом ответ на эту хитрость, то есть «в одних случаях искусство скрывать от противника свою осведомленность, в других – обманывать его относительно своих намерений, наконец, в-третьих – внушать ему недооценку нашей умелости» [101].
Остается, правда, сомнение в практической пользе и даже в обоснованности подобных спекуляций за рамками чистой математики. Они зиждутся на двух постулатах, необходимых для строгой дедукции и, как можно предположить, никогда не встречающихся в непрерывном и бесконечном реальном мире: первый из них – это возможность полной информации, исчерпывающей все полезные сведения; второй – это конкуренция между противниками, которые осуществляют все свои инициативы совершенно сознательно, в ожидании точно определенного результата и которые, как предполагается, всякий раз выбирают наилучшее решение. Между тем в реальности, с одной стороны, полезные сведения априори не поддаются перебору; а с другой стороны, невозможно устранить из расчета ту роль, которую могут сыграть в действиях противника ошибка, каприз, глупое увлечение, вообще любое произвольно-необъяснимое решение, какое-нибудь странное суеверие, или даже сознательное стремление проиграть, которое нет причин вовсе исключать из абсурдного мира людей. Математически все эти аномалии не порождают никакой новой трудности; они возвращают к предшествующему, уже разрешенному случаю. Но по-человечески, для конкретного игрока, дело обстоит иначе, ибо весь интерес игры заключается именно в этом запутанном сплетении возможностей.
При дуэли на пистолетах, когда оба противника идут навстречу друг другу, если нам известна точность и дальнобойность их оружия, дистанция, видимость, относительная искусность стрелков, их хладнокровие или нервозность, и если все эти различные факторы мы считаем поддающимися количественной оценке, то теоретически можно вычислить, в какой момент для каждого из противников предпочтительнее нажимать на курок. Однако это чисто алеаторная спекуляция, и все ее исходные данные ограничены конвенцией. На практике же ясно, что никакой расчет невозможен, так как для него требуется полный анализ неисчерпаемо сложной ситуации. Один из противников может оказаться близоруким или косоглазым. Он может быть рассеянным или неврастеником, его может ужалить оса, он может споткнуться о корень. Наконец, может статься, он желает погибнуть. Анализ всякий раз имеет дело лишь со скелетом проблемы; как только она обретает всю свою исходную сложность, рассуждения оказываются ложными.
В американских магазинах в период распродаж бывает, что в первый день уцененные товары продают со скидкой 20 % от обозначенной цены, на второй день – со скидкой 30 %, а на третий день со скидкой 50 %. Чем дольше выжидать, тем выгоднее обойдется покупка. Но одновременно сокращается возможность выбора, и подходящая вещь может быть купленной кем-то другим. В принципе, если суметь ограничить круг принимаемых в расчет данных, можно вычислить, в какой день лучше всего идти покупать тот или иной товар, в зависимости от того, насколько высоким предполагается спрос на него. Однако весьма правдоподобно, что каждый покупатель исходит из своего характера – делает покупку либо сразу, если для него главное оставить за собой желанную вещь, либо в последний момент, если он стремится потратить как можно меньше.
Здесь заключается упрямый, не поддающийся исчислению элемент игры, которого математика не затрагивает, ибо она представляет собой лишь алгебру по поводу игры. Когда же – что невозможно – она становится алгеброй самой игры, то игра сразу же разрушается. Ибо играют ведь не для того, чтобы наверняка выиграть. Удовольствие от игры неотделимо от риска проиграть. Как только комбинаторной рефлексии (в которой и заключается наука об играх) удается создать теорию игровой ситуации, интерес игрока исчезает вместе с неопределенностью результата. Исход всех вариантов известен заранее. Каждый игрок знает, к чему ведут последствия каждого из возможных ходов и последствия этих последствий. В карточных играх, как только не остается больше неопределенности в том, кто берет дальнейшие взятки, партия заканчивается, и все игроки открывают свои карты. В шахматах опытный игрок сдает партию, как только понимает, что положение на доске или соотношение сил обрекают его на неизбежное поражение. Африканские негры, играя в увлекающие их игры, высчитывают их ход так же точно, как Нейман и Моргенштерн; конечно, изучаемые последними структуры требуют куда более сложного математического аппарата, но работают с ними точно так же.
В Судане очень распространена игра «болотуду», аналогичная нашей «мельнице». В нее играют с помощью двенадцати палочек и двенадцати камешков, которые каждый из игроков по очереди выставляет на тридцатиклеточной доске, образующей пять рядов по шесть клеток. Всякий раз, когда одному из игроков удается поставить три своих фишки в ряд, он «съедает» одну из фишек противника. У мастеров этой игры есть особые приемы, которые образуют семейное достояние и передаются по наследству от отца к сыну. Большое значение имеет исходная расстановка фишек. Возможных комбинаций не бесконечно много. И вот опытный игрок часто прекращает партию, признавая свое виртуальное поражение, гораздо раньше, чем это поражение станет заметно для профана [102]. Он знает, что противник должен его победить и каким именно образом тот должен играть, чтобы этого добиться. Никому не доставляет особого удовольствия воспользоваться неопытностью посредственного игрока. Наоборот, ему спешат подсказать неотразимый маневр, если он сам его не знает. Ибо игра – это прежде всего демонстрация превосходства, и удовольствие здесь возникает от того, что меряешься силами. Нужно чувствовать себя в опасности.
Математические теории, пытающиеся надежно, для любых
